Perché imparare i frattali?
I frattali sono ovunque! Se non mi credi, dai un’occhiata fuori dalla tua finestra. Dalle forme degli alberi e dei cespugli ai profili frastagliati delle montagne alle coste irregolari, molte caratteristiche del nostro mondo naturale sembrano essere modellate dalla geometria frattale.
Ma cos’è esattamente un frattale? Come imparerai in questo modulo, un frattale è un oggetto che mostra autosimilarità ad ogni livello. Cioè, quando si zooma su una sezione, assomiglia all’intera immagine. Questa autosimilarità non deve essere esatta; infatti molti frattali mostrano qualche variazione o casualità. Sotto c’è un video che illustra come l’insieme di Mandelbrot, un noto frattale, mostra l’autosimilarità.
Mentre alcuni frattali (come l’insieme di Mandelbrot) potrebbero passare per opere d’arte, la vera bellezza dei frattali è nel modo in cui disegni e modelli così intricati possono risultare da formule o regole di generazione molto elementari.
In questo modulo, imparerai come creare modelli frattali come l’insieme di Mandelbrot usando una semplice formula come:
z_{n+1} = z_n^2 + c
Ovviamente ci sono molti dettagli che devono ancora essere spiegati, come la relazione tra frattali e numeri complessi. I valori di c, z_n e z_{n+1} nella formula di cui sopra si suppone siano numeri complessi, cioè numeri che includono l’unità immaginaria, i = \sqrt{-1}.
Il numero immaginario i è qualcosa di completamente diverso da qualsiasi numero tu abbia mai visto. Infatti, i non appare affatto sulla linea dei numeri! Invece, come scoprirai presto, l’unità immaginaria vive su una propria linea dei numeri separata, chiamata asse immaginario, che è perpendicolare alla solita linea dei numeri (o asse reale).
Lo stesso insieme di Mandelbrot è costituito dai numeri complessi che soddisfano una certa regola legata a una semplice equazione. L’immagine risultante è sorprendente, e diventa sempre più affascinante man mano che si ingrandisce!
Un insieme di Mandelbrot nel piano complesso.