立方根や平方根の根号の下に（根号として）負の値が現れるとどうなるか調べてみましょう。
ある状況では、根号の下の負の数でも問題ないことがあります。 例えば、
は(-2) – (-2) – (-2) = -8となり、答えは-2なので問題ありません。立方根の問題では、負の値を3倍して負の答えを得ることができます。
しかし、
などの問題では困難が生じます。 この平方根の問題は、積（答え）が-16になるような数を自分自身に掛けることを求めています。 掛け算でマイナスになることはありえません。 考えてみましょう。 (4) – (4) = 16 と (-4) – (-4) = 16 です。
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CUBE ROOTS:
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BUT
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SQUARE ROOTS:
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Yes, (-2) x (-2) x (-2) = -8.0.
問題なし |
ダメだ! (4) x (4) ≠ -16. |
平方根が犯人! 難しいのは、平方根の下に負の値がある場合に遭遇することである。 値を二乗（掛け算）して、マイナスの値になることはありえない。 では、どうすればいいのか。
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負の数の平方根は実数の集合の中に存在しない。
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最初に平方根の下で負の数の問題が現れたとき、数学者は解決法が存在しないのではと思った。 彼らは x2 + 1 = 0 のような方程式を見て、解 
の本当の意味は何だろうと考えたのである。
この問題を解決するために、数学者は新しい数iを「創造」した。iは「実数」の集合に含まれないため、「虚数」と呼ばれた。 この新しい数は、多くの懐疑的な目で見られた。 虚数が初めて活字になったのは1545年である。
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虚数「i」は負の1の平方根である。 |
虚数は二乗すると結果が負になるというユニークな性質を持っている。 
負の因子を含むラジカルの簡略化のプロセスは、通常のラジカルの簡略化と同じです。 唯一の違いは、
が “i “に置き換えられることである。
虚数の研究が進むにつれて、虚数は実際に数学の隙間を埋め、有用な目的を果たすことが発見されました。 電気、量子力学、振動解析、地図製作などの科学の研究には、虚数は欠かせない。
虚数iを実数の集合と組み合わせたとき、すべてを網羅する複素数の集合が形成される。