Ik praat met een breed scala aan mensen wanneer ik telescoopkijksessies of lezingen over astronomiegerelateerde onderwerpen doe. Een van de meest voorkomende vragen die ik krijg is “hoe weten we dat……?”. Het kan zijn “hoe weten we hoe groot Saturnus is”, of “hoe weten we hoe ver weg de Zon staat?” Al deze vragen benadrukken de fundamentele vooruitgang van de wetenschap in de afgelopen eeuwen en enkele van de meest baanbrekende ontdekkingen die gedaan zijn door mensen als Newton en Halley, naast een lange lijst van pioniers in de wetenschap. Ik dacht dat ik me eens zou verdiepen in de vraag hoe we de massa van Saturnus kennen.
Heden ten dage hebben we het voordeel van een paar vergelijkingen om de waarde te berekenen, maar stel je eens voor hoe het moet zijn geweest voor de vroege astronomen van de jaren 1600 en 1700, die nog maar net het voordeel van het gebruik van telescopen hadden verworven en de puzzels van het heelal begonnen op te lossen, te beginnen met ons eigen zonnestelsel.
De omlooptijd van Saturnus vinden
Laten we dit probleem eens stap voor stap bekijken. Eerst moeten we weten hoe lang Saturnus erover doet om één omwenteling om de zon te maken. Dit wordt eenvoudig gedaan door waarnemingen over een lange periode en het is een van de belangrijkste stukjes informatie om te begrijpen waar een planeet in het zonnestelsel past. Voor Saturnus hoeft een waarnemer alleen maar te kijken hoe hij door de achtergrondsterren op de ecliptica trekt tot 29 jaar later, wanneer hij één volledige omwenteling heeft gemaakt.
Omdat de aarde Saturnus elk jaar inhaalt en passeert, doet de planeet een beetje retrograde en lijkt hij elk jaar een korte tijd naar het westen te gaan, zodat het pad door de ecliptica niet vloeiend is. Afgezien van de kleine retrograde beweging, marcheert de planeet elk jaar langzaam over de ecliptica naar het oosten. Zorgvuldige observatie van Saturnus levert dus een cijfer van 29,44 aardjaren op voor de planeet om één rondje rond de zon te doen. Je kunt het zelf meten, je moet alleen heel veel geduld hebben.
Toen waarnemers eenmaal wisten dat de Zon het centrum van het zonnestelsel was, konden ze relatief eenvoudig de omlooptijden van de planeten berekenen. Kepler werkte begin 1600 de drie wetten van de planeetbeweging uit en deze werden gebruikt om uit te vinden hoe ver de planeten van de Zon verwijderd waren.
De derde wet van Kepler van de planeetbeweging
De derde wet van Kepler van de planeetbeweging stelt dat het kwadraat van de baan van een planeet gelijk is aan de kubus van zijn halve grote as, dus toen deze relatie eenmaal was ontdekt, kon Kepler de relatieve afstand van de planeten tot de Zon uitrekenen. Om de halve grote as van Saturnus te berekenen, hebben we alleen de omlooptijd nodig, die we al hebben door nauwkeurige observaties in de afgelopen 29 en een beetje jaar.
In de bovenstaande berekening is de 9,534 iets eigenlijk een maat die astronomische eenheden wordt genoemd. Eén astronomische eenheid is de afstand van de aarde tot de zon. Dus als de omlooptijd van de aarde één jaar is, dan moet het kwadraat daarvan gelijk zijn aan één en ook gelijk aan de kubus van de halve hoofdas. De halve grote as is één astronomische eenheid en de kubus van één is gelijk aan één, dus alles is in termen van de omlooptijd van de Aarde en de afstand van de Aarde tot de Zon, vandaar dat het antwoord voor Saturnus ook in termen van de afstand van de Aarde tot de Zon moet zijn.
De Astronomische Eenheid
In 1700 wisten wetenschappers nog niet hoe ver de Aarde van de Zon af stond, en het kostte heel wat werk en nauwkeurige observaties van de Venusovergang in 1761 en 1769 om er uiteindelijk achter te komen dat de afstand ongeveer 150.000.000 km was. Toen ze dat eenmaal gedaan hadden, wisten ze dat Saturnus 1.427.000.000.000 km van de Zon moest staan. Aan de hand van dit getal en de afstand van de Aarde tot de Zon en als we weten waar de Aarde en Saturnus ten opzichte van elkaar staan, kunnen we de afstand van de Aarde tot Saturnus bepalen. Dit getal is belangrijk om gemeten hoekafstanden om te zetten in absolute afstanden in meters.
Titan
Om de massa van Saturnus te bepalen moeten we een maan van Saturnus vinden waar we metingen aan kunnen doen. De helderste maan is Titan met een magnitude van ongeveer +9,3, dus met een redelijke telescoop kunnen vrij nauwkeurige metingen worden gedaan van zijn omlooptijd en halve hoofdas.
Door Titan een paar maanden lang door een telescoop te bekijken, kunnen we met een redelijke nauwkeurigheid vaststellen dat hij een omlooptijd van 15,95 dagen heeft. We kunnen de derde wet van Kepler niet gebruiken om de halve hoofdas van Titan te vinden, omdat die afhangt van de massa van Saturnus – die heel anders is dan die van de Zon, laten we doen alsof we de constante voor het Saturnus stelsel niet kennen. Het goede nieuws is dat we de halve hoofdas kunnen meten.
Telescopen kunnen zeer fijne hoekmetingen doen, dus met een beetje goniometrie kunnen we berekenen dat de halve hoofdas van Titan ongeveer 1.200.000 km is. We weten dit omdat we de afstand van de Zon tot Saturnus al hebben berekend en we weten de afstand van de Aarde tot de Zon en we weten waar beide planeten ten opzichte van elkaar staan in hun respectievelijke banen.
Tijd om te berekenen
Om de massa van Saturnus te berekenen moet er wat meer werk worden verricht aan de derde wet van Kepler van de planeetbeweging, dus gelukkig kwam Newton langs die uitvogelde dat er een verband was tussen massa en de snelheid waarmee iets ronddraait, hoe zwaarder de planeet hoe sterker de aantrekkingskracht op een van zijn manen en dus hoe sneller die maan zal ronddraaien. Dus als je de omlooptijd van een maan van Saturnus meet en de halve hoofdas van die maan uitrekent, dan kun je met een beetje wiskunde de massa van Saturnus berekenen.
Deze formule ziet er op het eerste gezicht een beetje eng uit, maar hij lijkt eigenlijk heel erg op de derde wet van Kepler, behalve dat Newton een heleboel extra dingen voor de kubus van de halve hoofdas (a³) heeft gepropt. Dus als we ons alleen bezighouden met het spul voor de a³ en boven de lijn dan zien we dat het vier maal het kwadraat van pi is, wat altijd dezelfde waarde is van ongeveer 39,44.
De formule een beetje eenvoudiger maken
Het stukje onder de lijn is een beetje meer uitdagend. Eerst is de “G” de gravitatieconstante. Het heeft lang geduurd om die te berekenen, maar we weten nu dat hij 0,0000000000667 m³/kgs² bedraagt. De twee “M “s” staan voor de massa van Saturnus en de massa van Titan. Deze kunnen worden teruggebracht tot één “M”, omdat we kunnen zeggen dat de massa van Titan zo klein is vergeleken met de massa van Saturnus dat het voor de berekening nauwelijks verschil zou maken. De massa van Saturnus plus de massa van Titan ligt heel dicht bij de massa van Saturnus alleen, dus kunnen we de massa van Titan effectief negeren in de berekening. De formule wordt dus:
We hoeven alleen maar een beetje algebra te doen om alles gelijk te maken aan M, want dat is de waarde die we willen vinden.
Dus we weten dat “a” 1.200.000 km is maar we hebben dat in meters nodig en dat is 1.200.000.000 meter. We weten dat “p” 15,95 dagen is, maar we hebben dat in seconden nodig en dat is 1.378.080 seconden. We weten al dat de constante voor G 0,0000000000667 m³/kgs² is.
Als we al die getallen in de bovenstaande formule stoppen, zouden we de massa van Saturnus in kilogrammen moeten krijgen. Als je die getallen in een rekenmachine stopt, krijg je 5,38 x 10²⁶kg en dat komt aardig in de buurt van het echte getal van 5,68 x 10²⁶kg (ongeveer 95 keer zo veel massa als de Aarde).
Als je gegevens voor Iapetus gebruikt dan is het getal groter en 5,87 x10²⁶kg en voor Phoebe is het getal veel dichterbij 5,68 x 10²⁶kg.6 x 10²⁶kg, hoewel je een zeer krachtige telescoop nodig hebt om metingen te doen van Phoebe aangezien zijn magnitude 17.3 is, dus zeer zwak.
Daar heb je het, hoe bereken je de massa van Saturnus, alles wat je nodig had was een telescoop, veel heldere nachten, een rekenmachine en een paar zeer handige formules bedacht door Kepler en Newton. En je had al het goede werk nodig van een heleboel wetenschappers en astronomen die de astronomische eenheid en de gravitatieconstante hebben uitgevonden. Het verbazingwekkende is dat je dit allemaal vanaf het aardoppervlak kunt doen.