Logica

Logic (van het Griekse “logos”, dat verschillende betekenissen heeft, waaronder woord, gedachte, idee, argument, rekening, reden of principe) is de studie van het redeneren, of de studie van de principes en criteria van geldige gevolgtrekkingen en bewijzen. Zij tracht goede van slechte redeneringen te onderscheiden.

Aristoteles definieerde de logica als “nieuwe en noodzakelijke redeneringen”, “nieuw” omdat zij ons in staat stelt te leren wat wij niet weten, en “noodzakelijk” omdat haar conclusies onontkoombaar zijn. Zij stelt vragen als “Wat is een juiste redenering?”, “Wat onderscheidt een goed van een slecht argument?”, “Hoe kunnen we een denkfout in een redenering ontdekken?”

Logica onderzoekt en classificeert de structuur van beweringen en argumenten, zowel door de studie van formele systemen van gevolgtrekking als door de studie van argumenten in natuurlijke taal. Zij houdt zich alleen bezig met proposities (declaratieve zinnen, gebruikt om een bewering te doen, in tegenstelling tot vragen, bevelen of zinnen die wensen uitdrukken) die waar en onwaar kunnen zijn. Het houdt zich niet bezig met de psychologische processen die verband houden met het denken, of met emoties, beelden en dergelijke. Het omvat kernthema’s zoals de studie van drogredenen en paradoxen, alsmede gespecialiseerde analyse van redeneringen met behulp van waarschijnlijkheid en argumenten met betrekking tot causaliteit en argumentatieleer.

Logische systemen moeten drie dingen hebben: consistentie (dat wil zeggen dat geen van de stellingen van het systeem elkaar tegenspreekt); deugdelijkheid (dat wil zeggen dat de bewijsregels van het systeem nooit een foute gevolgtrekking uit een ware premisse zullen toestaan); en volledigheid (dat wil zeggen dat er geen ware zinnen in het systeem voorkomen die niet, althans in principe, in het systeem bewezen kunnen worden).

In het oude India bevat de “Nasadiya Sukta” van de Rig Veda verschillende logische indelingen die later formeel werden herschikt als de vier cirkels van catuskoti: “A”, “niet A”, “A en niet A” en “niet A en niet A”. De Nyaya school van Indiase filosofische speculatie is gebaseerd op teksten die bekend staan als de “Nyaya Sutras” van Aksapada Gautama van rond de 2e eeuw v. Chr., en haar methodologie van gevolgtrekking is gebaseerd op een systeem van logica (een combinatie van inductie en deductie door van het bijzondere naar het bijzondere te gaan via algemeenheid) dat vervolgens is overgenomen door de meerderheid van de andere Indiase scholen.

Maar de moderne logica stamt hoofdzakelijk af van de Oudgriekse traditie. Zowel Plato als Aristoteles hebben de logica opgevat als de studie van het argument en vanuit een bezorgdheid over de juistheid van de argumentatie. Aristoteles heeft zes werken over logica geschreven, die gezamenlijk bekend staan als het “Organon”, waarvan het eerste, de “Prior Analytics”, het eerste expliciete werk in de formele logica is.

Aristoteles huldigde twee principes die van groot belang zijn in de logica, de wet van het uitgesloten midden (dat elke uitspraak óf waar óf onwaar is) en de wet van de non-contradictie (verwarrend genoeg ook bekend als de wet van de tegenstrijdigheid, dat geen enkele uitspraak zowel waar als onwaar is). Hij is wellicht het meest bekend door de invoering van het syllogisme (of de term logica) (zie het gedeelte over Deductieve Logica hieronder). Zijn volgelingen, bekend als de Peripatetici, verfijnden zijn werk over logica.

In de middeleeuwen werd de Aristotelische logica (of dialectiek), samen met grammatica en retorica, bestudeerd als een van de drie hoofdonderdelen van het trivium, de basis van een middeleeuwse opleiding in de vrije kunsten.

Logica in de Islamitische filosofie droeg ook bij aan de ontwikkeling van de moderne logica, met name de ontwikkeling van de Avicenniaanse logica (die verantwoordelijk was voor de introductie van het hypothetisch syllogisme, de temporele logica, de modale logica en de inductieve logica) als alternatief voor de Aristotelische logica.

In de 18e eeuw betoogde Immanuel Kant dat de logica moest worden opgevat als de wetenschap van het oordeel, zodat de geldige gevolgtrekkingen van de logica volgen uit de structurele kenmerken van oordelen, hoewel hij nog steeds volhield dat Aristoteles in wezen alles had gezegd wat er te zeggen viel over de logica als discipline.

In de 20e eeuw echter werd Kant’s bewering op zijn kop gezet door het werk van Gottlob Frege, Alfred North Whitehead en Bertrand Russell aan de Symbolische Logica. Deze nieuwe logica, uiteengezet in hun gezamenlijke werk “Principia Mathematica”, is veel breder van opzet dan de Aristotelische logica, en bevat zelfs de klassieke logica in zich, zij het als een ondergeschikt onderdeel. Zij lijkt op een wiskundige calculus en houdt zich bezig met de relaties van symbolen tot elkaar.

Logica in het algemeen kan worden onderverdeeld in Formele Logica, Informele Logica en Symbolische Logica en Wiskundige Logica:

• Vormale Logica:
  Vormale Logica is wat wij beschouwen als traditionele logica of filosofische logica, namelijk de studie van inferenties met een zuiver formele en expliciete inhoud (d.w.z.d. zij kan worden uitgedrukt als een specifieke toepassing van een geheel abstracte regel), zoals de regels van de formele logica die ons van Aristoteles zijn overgeleverd. (Zie het gedeelte over Deductieve Logica hieronder).
  Een formeel systeem (ook wel een logische calculus genoemd) wordt gebruikt om een uitdrukking (conclusie) af te leiden uit een of meer andere uitdrukkingen (premissen). Deze premissen kunnen axioma’s zijn (een vanzelfsprekende, als vanzelfsprekend beschouwde stelling) of stellingen (afgeleid met behulp van een vaste reeks gevolgregels en axioma’s, zonder aanvullende aannames).
  Formalisme is de filosofische theorie dat formele uitspraken (logisch of mathematisch) geen intrinsieke betekenis hebben, maar dat de symbolen (die als fysische entiteiten worden beschouwd) een vorm vertonen die nuttige toepassingen heeft.
• Informele Logica:
  Informele Logica is een recente discipline die natuurlijke taal argumenten bestudeert, en probeert een logica te ontwikkelen om gewone taal (of “alledaagse”) redeneringen te beoordelen, te analyseren en te verbeteren. Met natuurlijke taal wordt hier bedoeld een taal die door mensen gesproken, geschreven of ondertekend wordt voor algemene communicatie, te onderscheiden van formele talen (zoals computer-programmeertalen) of geconstrueerde talen (zoals Esperanto).
  Het richt zich op de redenering en argumentatie die men aantreft in persoonlijke uitwisseling, reclame, politiek debat, juridische argumentatie, en het sociale commentaar dat kranten, televisie, het Internet en andere vormen van massamedia kenmerkt.
• Symbolische Logica:
  Symbolische Logica is de studie van symbolische abstracties die de formele kenmerken van logische gevolgtrekkingen vastleggen. Zij houdt zich bezig met de relaties van symbolen tot elkaar, vaak met behulp van complexe wiskundige calculus, in een poging om onuitvoerbare problemen op te lossen waartoe de traditionele formele logica niet in staat is.
  Zij wordt vaak onderverdeeld in twee onderafdelingen:
  • Predicatenlogica: een systeem waarin formules kwantificeerbare variabelen bevatten. (Zie het gedeelte over Predicatenlogica hieronder).
  • Propositionele logica (of Sententiële logica): een systeem waarin formules die proposities voorstellen kunnen worden gevormd door atomaire proposities te combineren met behulp van logische connectieven, en een systeem van formele bewijsregels het mogelijk maakt bepaalde formules als stellingen vast te stellen. (Zie het gedeelte over de propositielogica hieronder).
• Mathematische Logica:
  Zowel de toepassing van de technieken van de formele logica op de wiskunde en het wiskundig redeneren, als, omgekeerd, de toepassing van wiskundige technieken op de representatie en analyse van de formele logica.
  Het vroegste gebruik van wiskunde en geometrie in relatie tot logica en filosofie gaat terug tot de Oude Grieken, zoals Euclides, Plato en Aristoteles.
  De computerwetenschap ontstond als discipline in de jaren 1940 met het werk van Alan Turing (1912 – 1954) aan het Entscheidungsprobleem, dat voortvloeide uit de theorieën van Kurt Gödel (1906 – 1978), met name zijn onvolledigheidstheorema’s. In de jaren 1950 en 1960 voorspelden onderzoekers dat wanneer menselijke kennis kon worden uitgedrukt met behulp van logica met wiskundige notatie, het mogelijk zou zijn een machine te maken die redeneert (of kunstmatige intelligentie), hoewel dit moeilijker bleek dan verwacht vanwege de complexiteit van het menselijk redeneren.Met wiskunde verwante doctrines zijn onder meer:
  • Logicisme: misschien wel de stoutmoedigste poging om logica toe te passen op wiskunde, gepionierd door filosofen-logici als Gottlob Frege en Bertrand Russell, met name de toepassing van wiskunde op logica in de vorm van bewijstheorie, modeltheorie, verzamelingenleer en recursietheorie.
  • Intuïtionisme: de leer die stelt dat logica en wiskunde niet bestaan uit analytische activiteiten waarin diepe eigenschappen van het bestaan worden geopenbaard en toegepast, maar slechts uit de toepassing van intern consistente methoden om meer complexe mentale constructies te realiseren.

Deductief redeneren betreft datgene wat noodzakelijkerwijs volgt uit gegeven premissen (d.w.z. uit een algemene premisse naar een bijzondere premisse). Een gevolgtrekking is deductief geldig als (en alleen als) er geen situatie mogelijk is waarin alle premissen waar zijn en de conclusie onjuist. Men mag echter niet vergeten dat een onjuiste vooronderstelling mogelijk tot een onjuiste conclusie kan leiden.

Deductief redeneren werd ontwikkeld door Aristoteles, Thales, Pythagoras en andere Griekse filosofen uit de Klassieke Periode. De kern van deductief redeneren is het syllogisme (ook bekend als term logica), meestal toegeschreven aan Aristoteles), waarbij een stelling (de conclusie) wordt afgeleid uit twee andere (de premissen), die elk een term gemeen hebben met de conclusie. Bijvoorbeeld:

Hoofdstelling: Alle mensen zijn sterfelijk.
Minderstelling: Socrates is mens.
Conclusie: Socrates is sterfelijk.

Een voorbeeld van deductie is:

Alle appels zijn vruchten.
Alle vruchten groeien aan bomen.
Daarom groeien alle appels aan bomen.

Je zou de oorspronkelijke premissen kunnen ontkennen, en dus ook de conclusie. Maar iedereen die de premissen accepteert, moet de conclusie accepteren. Tegenwoordig beweren sommige academici dat het systeem van Aristoteles weinig meer dan historische waarde heeft, omdat het verouderd is door de komst van de Predicatenlogica en de Voorlopige Logica (zie de paragrafen hieronder).

Inductief redeneren is het proces van het afleiden van een betrouwbare generalisatie uit waarnemingen (d.w.z. van het bijzondere naar het algemene), zodat de premissen van een argument verondersteld worden de conclusie te ondersteunen, maar deze niet noodzakelijkerwijs garanderen. Inductieve logica houdt zich niet bezig met geldigheid of sluitendheid, maar met de juistheid van die gevolgtrekkingen waarvoor het bewijs niet sluitend is.

Vele filosofen, waaronder David Hume, Karl Popper en David Miller, hebben de logische toelaatbaarheid van inductief redeneren betwist of ontkend. In het bijzonder heeft Hume betoogd dat het inductief redeneren vereist is om tot de premissen voor het principe van inductief redeneren te komen, en dat daarom de rechtvaardiging voor inductief redeneren een cirkelredenering is.

Een voorbeeld van sterke inductie (een argument waarin de waarheid van de premisse de waarheid van de conclusie waarschijnlijk maar niet definitief zou maken) is:

Alle waargenomen kraaien zijn zwart.

Daarom:

Alle kraaien zijn zwart.

Een voorbeeld van zwakke inductie (een argument waarin het verband tussen premisse en conclusie zwak is, en de conclusie niet eens noodzakelijkerwijs waarschijnlijk) is:

Ik hang altijd schilderijen aan spijkers.

Daarom:

Alle schilderijen hangen aan spijkers.

Modale logica is elk systeem van formele logica dat probeert om te gaan met modaliteiten (uitdrukkingen geassocieerd met noties van mogelijkheid, waarschijnlijkheid en noodzakelijkheid). Modale Logica houdt zich dus bezig met termen als “uiteindelijk”, “vroeger”, “mogelijk”, “kunnen”, “zouden kunnen”, “mogen”, “moeten”, enz.

Modaliteiten zijn manieren waarop proposities waar of onwaar kunnen zijn. Soorten modaliteiten zijn onder meer:

• Alethische modaliteiten: Omvat mogelijkheid en noodzakelijkheid, maar ook onmogelijkheid en contingentie. Sommige proposities zijn onmogelijk (noodzakelijkerwijs onwaar), terwijl andere contingent zijn (zowel mogelijk waar als mogelijk onwaar).
• Temporele Modaliteiten: Historische en toekomstige waarheid of onwaarheid. Sommige stellingen waren waar/onwaar in het verleden en andere zullen waar/onwaar zijn in de toekomst.
• Deontische Modaliteiten: Verplichting en toelaatbaarheid. Sommige proposities moeten waar/onwaar zijn, terwijl andere toelaatbaar zijn.
• Epistemic Modalities: Kennis en geloof. Van sommige stellingen is bekend dat ze waar/onwaar zijn, en van andere wordt geloofd dat ze waar/onwaar zijn.

Hoewel de logica van Aristoteles zich bijna volledig bezighoudt met categorische syllogismen, anticipeerde hij tot op zekere hoogte op de modale logica, en op het verband met potentialiteit en tijd. De moderne modale logica werd gesticht door Gottlob Frege, hoewel hij aanvankelijk twijfelde aan de levensvatbaarheid ervan, en zij werd pas later ontwikkeld door Rudolph Carnap (1891 – 1970), Kurt Gödel (1906 – 1978), C.I. Lewis (1883 – 1964) en vervolgens Saul Kripke (1940 – ) die Systeem K oprichtte, de vorm van modale logica die de meeste geleerden tegenwoordig gebruiken).

Propositionele Logica (of Sententiële Logica) houdt zich alleen bezig met sententiële connectieven en logische operatoren (zoals “en”, “of”, “niet”, “als …. dan …”, “omdat” en “noodzakelijk”), in tegenstelling tot de Predicatenlogica (zie hieronder), die zich ook bezighoudt met de interne structuur van atomaire proposities.

Propositionele logica bestudeert dus manieren om volledige proposities, beweringen of zinnen samen te voegen en/of te wijzigen om meer complexe proposities, beweringen of zinnen te vormen, evenals de logische relaties en eigenschappen die uit deze methoden om beweringen te combineren of te wijzigen worden afgeleid. In de propositielogica worden de eenvoudigste beweringen beschouwd als ondeelbare eenheden.

De stoïcijnse filosofen in de late 3e eeuw v. Chr. probeerden beweringsoperatoren als “en”, “of” en “als … dan …” te bestuderen, en Chrysippus (ca. 280-205 v. Chr.) bracht een soort propositielogica naar voren, door een aantal verschillende manieren aan te geven om complexe premissen voor argumenten te vormen. Dit systeem werd ook bestudeerd door Middeleeuwse logici, hoewel de propositionele logica pas echt tot bloei kwam in het midden van de 19e eeuw, met de komst van de Symbolische Logica in het werk van logici als Augustus DeMorgan (1806-1871), George Boole (1815-1864) en Gottlob Frege.

Predicatenlogica maakt het mogelijk zinnen op verschillende manieren te analyseren in onderwerp en argument, in tegenstelling tot de Aristotelische syllogistische logica, waarbij de vormen die het relevante deel van de betrokken oordelen aannam, gespecificeerd en beperkt moeten worden (zie het gedeelte over Deductieve Logica hierboven). De Predicaat Logica is ook in staat om een verklaring te geven van kwantoren die algemeen genoeg is om alle argumenten die in natuurlijke taal voorkomen uit te drukken, waardoor het probleem van de meervoudige algemeenheid, dat middeleeuwse logici in verwarring had gebracht, kon worden opgelost.

Het is bijvoorbeeld intuïtief duidelijk dat als:

Een of andere kat wordt gevreesd door elke muis

daaruit volgt logischerwijs dat:

Alle muizen zijn bang voor ten minste één kat

Maar omdat de bovenstaande zinnen elk twee kwantoren bevatten (‘sommige’ en ‘elke’ in de eerste zin en ‘alle’ en ’ten minste één’ in de tweede zin), kunnen ze niet adequaat worden weergegeven in de traditionele logica.

Predicatenlogica is ontworpen als een vorm van wiskunde, en is als zodanig in staat tot allerlei wiskundige redeneringen die verder gaan dan de mogelijkheden van de term- of de syllogistische logica. In de eerste-orde logica (ook bekend als eerste-orde predikatenrekening) kan een predikaat slechts verwijzen naar één enkel onderwerp, maar de predikatenlogica kan ook omgaan met tweede-orde logica, hogere-orde logica, veel-gesorteerde logica of infinitaire logica. De logica is ook in staat tot vele inferenties die de term logica ontgaan, en heeft (samen met de propositielogica – zie hieronder) in de meeste filosofische kringen de traditionele term logica verdrongen.

Predicaatlogica werd aanvankelijk ontwikkeld door Gottlob Frege en Charles Peirce in de late 19e Eeuw, maar bereikte zijn volle bloei in het Logisch Atomisme van Whitehead en Russell in de 20e Eeuw (ontwikkeld uit eerder werk van Ludwig Wittgenstein).

Een logische denkfout is een fout in de redenering of in de gevolgtrekking, of, in wezen, alles wat een argument verkeerd doet aflopen. Er zijn twee hoofdcategorieën van drogredenen, ambiguïteiten en contextuele drogredenen:

• Ambiguïteiten: een term is ambigu als hij meer dan één betekenis heeft. Er zijn twee hoofdtypen:
  • equivocatie: waarbij een enkel woord in twee verschillende betekenissen kan worden gebruikt.
  • amfibolie: waarbij de dubbelzinnigheid ontstaat door zinsbouw (vaak door bungelende deelwoorden of het onnauwkeurig gebruik van ontkenningen), in plaats van door de betekenis van afzonderlijke woorden.
• Contextuele drogredenen: die afhangen van de context of omstandigheden waarin zinnen worden gebruikt. Er zijn veel verschillende soorten, waarvan de meest voorkomende zijn:
  • Fallacies of Significance: waarbij het onduidelijk is of een bewering significant is of niet.
  • Fallacies of Emphasis: het onjuist benadrukken van woorden in een zin.
  • Fallacies of Quoting Out of Context: het manipuleren van de context van een citaat.
  • Fallacies of Argumentum ad Hominem: er kan niet worden aangetoond dat een bewering onjuist is louter omdat kan worden aangetoond dat de persoon die ze doet een gebrekkig karakter heeft.
  • Fallacies of Arguing from Authority: waarheid of onwaarheid kan niet worden bewezen louter omdat de persoon die het zegt wordt beschouwd als een “autoriteit” over het onderwerp.
  • Fallacies of Arguments which Appeal to Sentiments: melden hoe mensen zich voelen over iets om te overtuigen in plaats van te bewijzen.
  • Fallacies of Argument from Ignorance: een bewering kan niet als waar worden bewezen, alleen omdat er geen bewijs is om haar te weerleggen.
  • Fallacies of Begging the Question: een cirkelredenering, waarbij in feite dezelfde bewering zowel als premisse en als conclusie wordt gebruikt.
  • Samenstellingsfouten: de veronderstelling dat wat waar is voor een deel, ook waar is voor het geheel.
  • Splitsingsfouten: de omgekeerde veronderstelling dat wat waar is voor een geheel, ook waar moet zijn voor al zijn delen.
  • Fallacies of Irrelevant Conclusion: wanneer de conclusie iets anders betreft dan wat het argument oorspronkelijk probeerde te bewijzen.
  • Fallacies of Non-Sequitur: een argumentatieve sprong, waarbij de conclusie niet noodzakelijk uit de premissen volgt.
  • Fallacies of Statistics: statistieken kunnen worden gemanipuleerd en bevooroordeeld om veel verschillende hypotheses te “bewijzen”.

Dit zijn slechts enkele van de meest voorkomende soorten, de Internet Encyclopedia of Philosophy pagina over Fallacies somt er 176 op!

Een paradox is een uitspraak of een gevoel dat schijnbaar tegenstrijdig is of ingaat tegen het gezond verstand en toch in feite misschien waar is. Omgekeerd kan een paradox een uitspraak zijn die in feite tegenstrijdig is met zichzelf (en dus onwaar), ook al lijkt ze waar. Typisch is dat ofwel de uitspraken in kwestie de tegenstrijdigheid niet echt impliceren, ofwel het raadselachtige resultaat niet echt een tegenstrijdigheid is, ofwel de premissen zelf niet allemaal echt waar zijn of niet allemaal samen waar kunnen zijn.

De erkenning van dubbelzinnigheden, dubbelzinnigheden en onuitgesproken veronderstellingen die aan bekende paradoxen ten grondslag liggen, heeft tot belangrijke vooruitgang in de wetenschap, filosofie en wiskunde geleid. Maar vele paradoxen (b.v. Curry’s Paradox) hebben nog geen universeel aanvaarde oplossingen.

Men kan stellen dat er vier klassen van paradoxen zijn:

• Veridicale Paradoxen: die een resultaat opleveren dat absurd lijkt, maar waarvan kan worden aangetoond dat het niettemin waar is.
• Falside paradoxen: die een resultaat opleveren dat niet alleen onwaar lijkt, maar dat ook werkelijk onwaar is.
• Antinomieën: die noch veridicaal noch falsidicaal zijn, maar die bij de juiste toepassing van aanvaarde redeneerwijzen een zichzelf tegensprekend resultaat opleveren.
• Dialetheias: die een resultaat opleveren dat tegelijkertijd waar en onwaar is, en wel in dezelfde zin.

Paradoxen zijn vaak het gevolg van zelfverwijzing (waarbij een zin of formule rechtstreeks naar zichzelf verwijst), oneindigheid (een argument dat een oneindige regressie, of oneindige reeks van ondersteunende verwijzingen genereert), cirkelvormige definities (waarbij een te bewijzen stelling impliciet of expliciet in een van de premissen wordt verondersteld), vaagheid (waarbij niet duidelijk is of een begrip al dan niet van toepassing is), valse of misleidende beweringen (beweringen die opzettelijk of onbewust onwaar of misleidend zijn), en halve waarheden (misleidende beweringen die een zeker element van waarheid bevatten).

Enkele beroemde paradoxen zijn:

• Epimenides’ Leugenaarparadox: Epimenides was een Kretenzer die zei: “Alle Kretenzers zijn leugenaars.” Moeten we hem geloven?
• Leugenaarsparadox (2): “Deze zin is onwaar.”
• Leugenaarsparadox (3): “De volgende zin is onwaar. De vorige zin is waar.”
• Curry’s Paradox: “Als deze zin waar is, dan bestaat de Kerstman.”
• Quine’s Paradox: “levert onwaarheid op wanneer voorafgegaan door zijn citaat” levert onwaarheid op wanneer voorafgegaan door zijn citaat.
• Russell’s Barber Paradox: Als een barbier alle mannen in het dorp scheert die zichzelf niet scheren, scheert hij dan zichzelf?
• Grootvader Paradox: Stel dat een tijdreiziger teruggaat in de tijd en zijn grootvader doodt toen deze nog een kind was. Als zijn grootvader sterft in zijn kindertijd, dan kan de tijdreiziger niet geboren worden. Maar als de tijdreiziger nooit geboren is, hoe kan hij dan überhaupt terug in de tijd zijn gereisd?
• Zeno’s Dichotomie Paradox: Voordat een bewegend voorwerp een bepaalde afstand kan afleggen (b.v. een persoon die een kamer doorkruist), moet het halverwege komen. Voordat het halverwege kan komen, moet het een kwart van de weg daarheen komen. Voordat hij een kwart aflegt, moet hij een achtste afleggen; voor een achtste een zestiende; enzovoort. Omdat deze reeks eindeloos doorgaat, moet een oneindig aantal punten worden gepasseerd, wat logisch onmogelijk is in een eindige tijd, zodat de afstand nooit zal worden afgelegd (de kamer gepasseerd, enzovoort).
• Zeno’s Paradox van Achilles en de schildpad: Als Achilles de schildpad een voorsprong gunt in een wedloop, dan heeft de schildpad tegen de tijd dat Achilles bij het beginpunt van de schildpad is aangekomen, al een kortere afstand gelopen. Tegen de tijd dat Achilles dat tweede punt bereikt heeft, is de schildpad weer verder gelopen, enz, enz. Dus Achilles kan de schildpad nooit vangen.
• Zeno’s Pijlparadox: Als een pijl wordt afgevuurd met een boog, dan is de pijl op elk moment in de tijd, waar hij is, of hij is waar hij niet is. Als hij beweegt waar hij is, dan moet hij stilstaan, en als hij beweegt waar hij niet is, dan kan hij daar niet zijn. Het kan dus helemaal niet bewegen.
• Theseus’ Schip Paradox: Nadat Theseus stierf, werd zijn schip tentoongesteld. Na verloop van tijd waren alle planken verrot geraakt en vervangen door nieuwe planken. Als er niets overbleef van het eigenlijke “originele” schip, was dit dan nog wel het schip van Theseus?
• Sorites (Zandhoop) Paradox: Als je één zandkorrel van een hoop weghaalt, is het nog steeds een hoop. Als korrels afzonderlijk worden weggehaald, is het dan nog steeds een hoop als er maar één korrel overblijft? Zo niet, wanneer is het dan veranderd van een hoop in een niet-hoop?
• Hempel’s Raven Paradox: Als alle raven zwart zijn, dan is in strikte termen van logische gelijkwaardigheid, alles wat niet zwart is, geen raaf. Dus elke waarneming van een blauwe trui of een rode beker bevestigt de hypothese dat alle raven zwart zijn.
• Petronius’ Paradox” “Matigheid in alle dingen, inclusief matigheid.”
• Paradoxale Aankondiging: “Negeer deze mededeling.”
• Saaie Getallen Paradox: Als er zoiets bestaat als een saai getal, dan kunnen we alle getallen in twee groepen verdelen – interessante en saaie. In de set van saaie getallen zal er maar één getal zijn dat het kleinst is. Omdat het het kleinste saaie getal is, wordt het, ipso facto, een interessant getal. We moeten het dus uit de saaie verzameling halen en het in de andere plaatsen. Maar nu zal er een ander kleinste oninteressant getal zijn. Door dit proces te herhalen wordt elk saai getal interessant.
• Protagoras’ Leerling Paradox: Een advocaat maakte een afspraak met een van zijn leerlingen waarbij de leerling voor zijn onderricht zou betalen nadat hij zijn eerste zaak gewonnen had. Na verloop van tijd werd de advocaat ongeduldig over het gebrek aan cliënten van de leerling en besloot hem aan te klagen voor het verschuldigde bedrag. De logica van de advocaat was dat als hij, de advocaat, won, de leerling hem volgens de uitspraak van de rechter zou betalen; als de leerling won, zou hij de overeenkomst moeten nakomen en hoe dan ook moeten betalen. De leerling betoogde echter dat als hij, de leerling, won, hij volgens de uitspraak van de rechter de advocaat niet hoefde te betalen; en als de advocaat won, dan trad de overeenkomst niet in werking en hoefde de leerling de advocaat niet te betalen.
• Moore’s paradox: “Het zal regenen, maar ik geloof niet dat het zal regenen.”
• Schrödinger’s Cat: Er zit een kat in een verzegelde doos, en het leven of de dood van de kat is afhankelijk van de toestand van een bepaald subatomair deeltje. Volgens de kwantummechanica heeft het deeltje alleen een bepaalde toestand op het exacte moment van de kwantummeting, zodat de kat zowel levend als dood blijft tot het moment dat de doos wordt geopend.
• “Turtles all the way down”: Een verhaal over een oneindige regressie, vaak toegeschreven aan Bertrand Russell maar waarschijnlijk van eeuwen eerder, gebaseerd op een oude (mogelijk Indiase) kosmologische mythe dat de aarde een platte schijf is die wordt ondersteund door een reusachtige olifant die op zijn beurt wordt ondersteund door een reusachtige schildpad. In het verhaal was het antwoord op de vraag wat dan de schildpad ondersteunde: “het zijn allemaal schildpadden naar beneden”.

Drie doctrines die onder de noemer Logica kunnen worden beschouwd zijn: