Waarom over fractals leren?
Fractals zijn overal! Als je me niet gelooft, kijk dan maar eens buiten je raam. Van de vormen van bomen en struiken tot de grillige profielen van bergen tot de onregelmatige kustlijnen, veel kenmerken van onze natuurlijke wereld lijken te zijn gemodelleerd door fractale geometrie.
Maar wat is nu precies een fractal? Zoals u in deze module zult leren, is een fractal een object dat op elk niveau zelfgelijkvormigheid vertoont. Dat wil zeggen, als je inzoomt op een deel, lijkt het op de hele afbeelding. Deze gelijkenis hoeft niet exact te zijn; in feite vertonen veel fractals enige variatie of willekeurigheid. Hieronder is een video te zien waarin wordt geïllustreerd hoe de Mandelbrot-verzameling, een bekende fractal, zelfgelijkvormigheid vertoont.
Hoewel sommige fractals (zoals de Mandelbrot-verzameling) voor kunstwerken zouden kunnen doorgaan, ligt de ware schoonheid van fractals in hoe zulke ingewikkelde ontwerpen en patronen kunnen voortkomen uit zeer elementaire genererende formules of regels.
In deze module leer je hoe je fractale patronen zoals de Mandelbrotverzameling kunt maken met een eenvoudige formule als:
z_{n+1} = z_n^2 + c
Natuurlijk zijn er veel details die nog moeten worden uitgelegd, zoals de relatie tussen fractals en complexe getallen. De waarden van c, z_n en z_{n+1} in de bovenstaande formule worden verondersteld complexe getallen te zijn, dat wil zeggen getallen waarin de imaginaire eenheid, i = \sqrt{-1}, voorkomt.
Het imaginaire getal i is iets heel anders dan elk getal dat je ooit hebt gezien. In feite komt i helemaal niet voor op de getallenlijn! In plaats daarvan, zoals je spoedig zult ontdekken, leeft het imaginaire getal op zijn eigen aparte getallenlijn, de imaginaire as genaamd, die loodrecht staat op de gewone getallenlijn (of reële as).
De Mandelbrotverzameling zelf bestaat uit de complexe getallen die voldoen aan een bepaalde regel die verband houdt met een eenvoudige vergelijking. Het resultaat is verbluffend, en wordt steeds fascinerender als je inzoomt!
Een Mandelbrotverzameling in het complexe vlak.