Patronen in de natuur

SymmetrieEdit

Symmetrie is alomtegenwoordig in levende wezens. Dieren hebben vooral bilaterale of spiegelsymmetrie, net als de bladeren van planten en sommige bloemen zoals orchideeën. Planten hebben vaak radiale of rotatiesymmetrie, net als veel bloemen en sommige groepen dieren zoals zeeanemonen. Vijfvoudige symmetrie komt voor bij de stekelhuidigen, de groep waartoe zeesterren, zee-egels en zeelelies behoren.

Bij de niet-levende wezens hebben sneeuwvlokken een opvallende zesvoudige symmetrie; de structuur van elke vlok vormt een verslag van de variërende omstandigheden tijdens de kristallisatie, met bijna hetzelfde groeipatroon op elk van de zes armen. Kristallen in het algemeen hebben een verscheidenheid aan symmetrieën en kristalgewoonten; zij kunnen kubisch of octahedraal zijn, maar echte kristallen kunnen geen vijfvoudige symmetrie hebben (in tegenstelling tot quasikristallen). Rotatiesymmetrie komt op verschillende schalen voor bij niet-levende dingen, waaronder het kroonvormige spatpatroon dat ontstaat als een druppel in een vijver valt, en zowel de sferoïdale vorm als de ringen van een planeet als Saturnus.

Symmetrie heeft een verscheidenheid aan oorzaken. Radiale symmetrie past bij organismen zoals zeeanemonen, waarvan de volwassen dieren zich niet verplaatsen: voedsel en bedreigingen kunnen uit alle richtingen komen. Maar dieren die in één richting bewegen hebben noodzakelijkerwijs een boven- en onderkant, een kop en een staart, en dus een linker- en een rechterkant. De kop wordt gespecialiseerd met een mond en zintuigen (cephalisatie), en het lichaam wordt tweezijdig symmetrisch (hoewel de inwendige organen dat niet hoeven te zijn). Nog raadselachtiger is de reden voor de vijfvoudige (pentaradiate) symmetrie van de stekelhuidigen. De vroege stekelhuidigen waren tweezijdig symmetrisch, en hun larven zijn dat nog steeds. Sumrall en Wray stellen dat het verlies van de oude symmetrie zowel ontwikkelings- als ecologische oorzaken had.

• Dieren vertonen vaak spiegel- of bilaterale symmetrie, zoals deze tijger.

• Echinodermen zoals deze zeester hebben vijfvoudige symmetrie.

• Vijfvoudige symmetrie is te zien in veel bloemen en sommige vruchten, zoals deze mispel.

• Sneeuwvlokken hebben zesvoudige symmetrie.

• Fluoriet vertoont kubische kristalhabitus.

• Waterspatten benaderen radiale symmetrie.

• Garnet vertoont ruitvormige dodecahedrale kristalhabitus.

• Volvox heeft bolvormige symmetrie.

• Zee-anemonen hebben rotatiesymmetrie.

Bomen, fractalsEdit

Het vertakkingspatroon van bomen werd in de Italiaanse Renaissance beschreven door Leonardo da Vinci. Hij stelde dat:

Alle takken van een boom in elk stadium van zijn hoogte bij elkaar opgeteld even dik zijn als de stam.

Een algemenere versie stelt dat wanneer een oudertak zich splitst in twee of meer kind-takken, de oppervlaktes van de kind-takken optellen tot die van de oudertak. Een equivalente formulering is dat als een oudertak zich in twee kind-takken splitst, de doorsnedediameters van de ouder en de twee kind-takken een rechthoekige driehoek vormen. Een verklaring is dat bomen hierdoor beter bestand zijn tegen harde wind. Simulaties van biomechanische modellen komen overeen met de regel.

Fractals zijn oneindig zelfgelijkvormige, geïtereerde wiskundige constructies met een fractale dimensie. Oneindige iteratie is in de natuur niet mogelijk, zodat alle “fractale” patronen slechts bij benadering bestaan. Bijvoorbeeld, de bladeren van varens en schermbloemigen (Apiaceae) zijn slechts zelfgelijkvormig (geveerd) tot 2, 3 of 4 niveaus. Varenachtige groeipatronen komen voor bij planten en bij dieren, waaronder bryozoën, koralen, hydrozoën zoals de luchtvaren, Sertularia argentea, en bij niet-levende dingen, met name elektrische ontladingen. Lindenmayer systeemfractals kunnen verschillende patronen van boomgroei modelleren door een klein aantal parameters te variëren, waaronder vertakkingshoek, afstand tussen knooppunten of vertakkingspunten (internodelengte), en aantal takken per vertakkingspunt.

Fractal-achtige patronen komen veel voor in de natuur, in verschijnselen zo divers als wolken, riviernetwerken, geologische breuklijnen, bergen, kustlijnen, dierenkleuring, sneeuwvlokken, kristallen, bloedvatvertakking, actine cytoskelet, en oceaangolven.

• De groeipatronen van bepaalde bomen lijken op deze fractals van het Lindenmayer-systeem.

• Groeipatroon van een baobabboom

• Loof van koeienpeterselie, Anthriscus sylvestris, is 2- of 3-vinnig, niet oneindig

• Fractale spiralen: Romanesco broccoli met zelfgelijkvormige vorm

• Angelica bloemhoofd, een bol gemaakt van bollen (zelfgelijkvormig)

• Bomen: Lichtenberg figuur: hoogspanning diëlektrische doorslag in een acryl polymeerblok

• Bomen: dendritische koperkristallen (in microscoop)

SpiralenEdit

Spiralen komen veel voor bij planten en bij sommige dieren, met name bij weekdieren. Bij de nautilus, een koppotig weekdier, bijvoorbeeld, is elke kamer van zijn schelp een benaderende kopie van de volgende, geschaald met een constante factor en gerangschikt in een logaritmische spiraal. Gezien het moderne begrip van fractals kan een groeispiraal worden gezien als een speciaal geval van zelfgelijkvormigheid.

Plantenspiralen kunnen worden gezien in fyllotaxis, de rangschikking van bladeren op een stengel, en in de rangschikking (parastichie) van andere delen zoals in samengestelde bloem- en zaadhoofden zoals de zonnebloem of vruchtstructuren zoals de ananas:337 en de slangenvrucht, alsmede in het patroon van schubben in dennenappels, waar meervoudige spiralen zowel met de klok mee als tegen de klok in lopen. Deze ordeningen hebben verklaringen op verschillende niveaus – wiskunde, natuurkunde, scheikunde, biologie – elk afzonderlijk juist, maar alle tezamen noodzakelijk. Fyllotaxis spiralen kunnen wiskundig worden gegenereerd uit de Fibonacci verhoudingen: de Fibonacci reeks loopt 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… (elk volgend getal is de som van de twee voorgaande). Bijvoorbeeld, wanneer bladeren elkaar afwisselen op een stengel, raakt één rotatie van de spiraal twee bladeren, dus het patroon of de verhouding is 1/2. Bij hazelaar is de verhouding 1/3; bij abrikoos 2/5; bij peer 3/8; bij amandel 5/13. Bij schijffylotaxis zoals bij de zonnebloem en het madeliefje zijn de bloempjes gerangschikt in de spiraal van Fermat met Fibonacci nummering, althans wanneer het bloemhoofdje volgroeid is zodat alle elementen even groot zijn. De verhoudingen van Fibonacci benaderen de gulden hoek, 137,508°, die de kromming van de spiraal van Fermat bepaalt.

Fysisch gezien zijn spiralen configuraties met de laagste energie die spontaan ontstaan door zelforganiserende processen in dynamische systemen. Vanuit het standpunt van de chemie kan een spiraal worden gegenereerd door een reactie-diffusieproces, waarbij zowel activering als remming optreedt. Fyllotaxis wordt gecontroleerd door eiwitten die de concentratie van het plantenhormoon auxine manipuleren, dat de groei van het meristeem activeert, naast andere mechanismen om de relatieve hoek van de knoppen rond de stengel te regelen. Vanuit een biologisch perspectief wordt het rangschikken van bladeren zo ver mogelijk uit elkaar in een gegeven ruimte begunstigd door natuurlijke selectie, omdat het de toegang tot hulpbronnen maximaliseert, vooral zonlicht voor fotosynthese.

• Fibonacci-spiraal

• Bighorn sheep, Ovis canadensis

• Spiralen: phyllotaxis van spiraalaloe, Aloe polyphylla

• Nautiluschelp’s logaritmische groeispiraal

• Fermat’s spiraal: zaadkop van zonnebloem, Helianthus annuus

• Meervoudige Fibonacci-spiralen: rode kool in doorsnede

• Spirale schil van Trochoidea liebetruti

• Waterdruppels vliegen van een natte, draaiende bal af in gelijkzijdige spiralen

Chaos, stroming, meandersEdit

In de wiskunde is een dynamisch systeem chaotisch als het (zeer) gevoelig is voor beginvoorwaarden (het zogenaamde “vlindereffect”), waarvoor de wiskundige eigenschappen van topologische menging en dichte periodieke banen nodig zijn.

Naast fractals geldt de chaostheorie als een in wezen universele invloed op patronen in de natuur. Er bestaat een verband tussen chaos en fractals – de vreemde attractoren in chaotische systemen hebben een fractale dimensie. Sommige cellulaire automaten, eenvoudige reeksen wiskundige regels die patronen genereren, vertonen chaotisch gedrag, met name Regel 30 van Stephen Wolfram.

Vortexstraten zijn zigzaggende patronen van wervelende wervelingen die ontstaan door de onbestendige scheiding van de stroming van een vloeistof, meestal lucht of water, over belemmerende voorwerpen. Gladde (laminaire) stroming begint uiteen te vallen wanneer de grootte van de obstructie of de snelheid van de stroming groot genoeg wordt in vergelijking met de viscositeit van de vloeistof.

Meanders zijn kronkelige bochten in rivieren of andere kanalen, die ontstaan als een vloeistof, meestal water, om bochten heen stroomt. Zodra het pad licht gebogen is, neemt de omvang en de kromming van elke lus toe doordat spiraalvormige stroming materiaal zoals zand en grind over de rivier naar de binnenzijde van de bocht sleept. De buitenkant van de lus blijft schoon en onbeschermd, dus erosie versnelt, waardoor de meandering verder toeneemt in een krachtige positieve terugkoppelingslus.

• Chaos: schelp van gastropoden weekdier het doek van goud kegel, Conus textiel, lijkt op regel 30 cellulaire automaat

• Flow: draaikolkstraat van wolken bij Juan Fernandez-eilanden

• Meanders: dramatische meanderlittekens en oxboogmeren in de brede overstromingsvlakte van de Rio Negro, gezien vanuit de ruimte

• Meanders: bochtig pad van Rio Cauto, Cuba

• Meanders: kronkelende kronkelende slang

• Meanders: symmetrisch hersenkoraal, Diploria strigosa

Golven, duinenEdit

Golven zijn verstoringen die energie dragen als ze bewegen. Mechanische golven planten zich voort door een medium – lucht of water – en laten het oscilleren terwijl ze passeren. Windgolven zijn golven aan het zeeoppervlak die het karakteristieke chaotische patroon van elk groot waterlichaam creëren, hoewel hun statistisch gedrag kan worden voorspeld met windgolfmodellen. Wanneer golven in water of wind over zand gaan, creëren zij patronen van rimpelingen. Wanneer de wind over grote zandmassa’s waait, ontstaan duinen, soms in uitgestrekte duingebieden zoals in de Taklamakan-woestijn. Duinen kunnen een hele reeks patronen vormen, waaronder sikkels, zeer lange rechte lijnen, sterren, koepels, parabolen, en longitudinale of seif (‘zwaard’) vormen.

Barchans of sikkelduinen ontstaan door de wind die inwerkt op woestijnzand; de twee hoorns van de sikkel en de slipvlakte wijzen benedenwinds. Zand waait over de bovenwindse zijde, die een hoek van ongeveer 15 graden met de horizontaal maakt, en valt op de slipzijde, waar het zich ophoopt tot de afstotingshoek van het zand, die ongeveer 35 graden bedraagt. Wanneer de afglijdingshoek groter is dan de afstotingshoek, gaat het zand lawines vertonen, hetgeen een niet-lineair gedrag is: de toevoeging van vele kleine hoeveelheden zand veroorzaakt niet veel, maar de toevoeging van nog eens een kleine hoeveelheid doet plotseling een grote hoeveelheid lawines ontstaan. Afgezien van deze niet-lineariteit gedragen barchans zich eerder als solitaire golven.

• Golven: brekende golf in het kielzog van een schip

• Duinen: zandduinen in Taklamakan-woestijn, vanuit de ruimte

• Duinen: barchan halvemaan zandduin

• Windrimpels met dislocaties in Sistan, Afghanistan

Bellen, schuimEdit

Een zeepbel vormt een bol, een oppervlak met een minimale oppervlakte (minimale oppervlakte) – de kleinst mogelijke oppervlakte voor het ingesloten volume. Twee zeepbellen vormen samen een complexere vorm: de buitenoppervlakken van beide zeepbellen zijn bolvormig; deze oppervlakken worden samengevoegd door een derde bolvormig oppervlak doordat de kleinere zeepbel iets opbolt in de grotere.

Een schuim is een massa bellen; schuimen van verschillende materialen komen in de natuur voor. Schuim samengesteld uit zeepfilms gehoorzaamt aan de wetten van Plateau, die vereisen dat drie zeepfilms elkaar ontmoeten aan elke rand bij 120° en dat vier zeepranden elkaar ontmoeten aan elk hoekpunt bij de tetrahedrale hoek van ongeveer 109,5°. De wetten van Plateau vereisen verder dat de films glad en ononderbroken zijn, en dat zij op elk punt een constante gemiddelde kromming hebben. Bijvoorbeeld, een film kan gemiddeld bijna vlak blijven door in één richting (zeg, van links naar rechts) omhoog gebogen te zijn, terwijl hij in een andere richting (zeg, van voor naar achter) naar beneden gebogen is. Structuren met minimale oppervlakken kunnen worden gebruikt als tenten.

Op de schaal van levende cellen komen schuimpatronen veel voor; radiolariërs, sponsspicules, exoskeletten van silicoflagellaten en het calcietskelet van een zee-egel, Cidaris rugosa, lijken allemaal op minerale afgietsels van Plateau schuimgrenzen. Het skelet van de radiolariër, Aulonia hexagona, een prachtige mariene vorm getekend door Ernst Haeckel, ziet eruit alsof het een bol is die geheel uit zeshoeken bestaat, maar dit is mathematisch onmogelijk. De eigenschap van Euler stelt dat voor een convex veelvlak het aantal zijvlakken plus het aantal hoekpunten (hoekpunten) gelijk is aan het aantal ribben plus twee. Een gevolg van deze formule is dat elk gesloten veelvlak van zeshoeken precies 12 vijfhoeken moet bevatten, zoals een voetbal, een geodetische koepel van Buckminster Fuller of een fullereenmolecule. Dit kan worden gevisualiseerd door op te merken dat een netwerk van zeshoeken plat is als een vel kippengaas, maar elke vijfhoek die wordt toegevoegd dwingt het netwerk om te buigen (er zijn minder hoeken, dus wordt het netwerk naar binnen getrokken).

• Schuim van zeepbellen: vier randen komen bij elk hoekpunt samen, onder hoeken die dicht bij 109.5°, zoals bij twee C-H bindingen in methaan.

• Radiolaria getekend door Haeckel in zijn Kunstformen der Natur (1904).

• Haeckel’s Spumellaria; de skeletten van deze Radiolaria hebben schuimachtige vormen.

• Buckminsterfullereen C60: Richard Smalley en collega’s synthetiseerden het fullereenmolecuul in 1985.

• Brochosomen (afscheidende microdeeltjes die door bladhaantjes worden geproduceerd) benaderen vaak de geometrie van fullerenen.

• Gelijke bolletjes (gasbellen) in een oppervlakteschuim

• Circustent benadert een minimaal oppervlak.

TessellatiesEdit

Tessellaties zijn patronen gevormd door het herhalen van tegels over een vlak oppervlak. Er zijn 17 behanggroepen van vlakvullingen. Hoewel ze veel voorkomen in kunst en design, zijn exact herhalende vlakvullingen minder gemakkelijk te vinden in levende wezens. De cellen in de papieren nesten van sociale wespen, en de wascellen in de honingraat gebouwd door honingbijen zijn bekende voorbeelden. Bij dieren worden beenvissen, reptielen of het schubdier, of vruchten zoals de salak beschermd door overlappende schubben of osteodermen, die min of meer exact herhalende eenheden vormen, hoewel de schubben in feite vaak voortdurend in grootte variëren. Bij de bloemen heeft de slangenkopfrietzangeres, Fritillaria meleagris, een schaakbordpatroon op haar bloemblaadjes. De structuren van mineralen zijn goede voorbeelden van regelmatig herhalende driedimensionale patronen. Ondanks de honderdduizenden bekende mineralen, zijn er vrij weinig mogelijke soorten schikking van atomen in een kristal, gedefinieerd door kristalstructuur, kristalsysteem, en puntgroep; bijvoorbeeld, er zijn precies 14 Bravais-roosters voor de 7 roostersystemen in de driedimensionale ruimte.

• Kristallen: kubusvormige kristallen van haliet (steenzout); kubisch kristalsysteem, isometrische hexoctahedrale kristalsymmetrie

• Arrays: honingraat is een natuurlijke vlakvulling

• Bismuthopperkristal dat de trapvormige kristalgewoonte illustreert.

• Tilings: vlakvullende bloem van slangenkopfritillaria, Fritillaria meleagris

• Tilings: overlappende schubben van gewone voorn, Rutilus rutilus

• Tilings: overlappende schubben van slangenkruid of salak, Salacca zalacca

• Tessellated pavement: een zeldzame rotsformatie op het schiereiland Tasman

scheurenEdit

scheuren zijn lineaire openingen die zich in materialen vormen om spanningen te verlichten. Wanneer een elastisch materiaal gelijkmatig uitrekt of krimpt, bereikt het uiteindelijk zijn breuksterkte en bezwijkt dan plotseling in alle richtingen, waarbij scheuren ontstaan met verbindingen van 120 graden, zodat drie scheuren samenkomen op een knooppunt. Omgekeerd, wanneer een inelastisch materiaal bezwijkt, vormen zich rechte scheuren om de spanning af te bouwen. Verdere spanning in dezelfde richting zou dan eenvoudig de bestaande scheuren openen; spanning onder een rechte hoek kan nieuwe scheuren doen ontstaan, in een hoek van 90 graden ten opzichte van de oude scheuren. Het patroon van scheuren geeft dus aan of het materiaal elastisch is of niet. In een taai vezelig materiaal als eikenschors ontstaan zoals gewoonlijk scheuren om spanningen te ontlasten, maar zij worden niet lang omdat hun groei wordt onderbroken door bundels van sterke elastische vezels. Aangezien elke boomsoort zijn eigen structuur heeft op het niveau van de cel en van de moleculen, heeft elke boomsoort zijn eigen patroon van scheuren in zijn schors.

• Old aardewerk oppervlak, wit glazuur met voornamelijk 90° scheuren

• Drogende inelastische modder in de Rann of Kutch met voornamelijk 90° scheuren

• Geïdentificeerd gabbro met 90° scheuren, bij Sgurr na Stri, Skye

• Drogende elastische modder in Sicilië met voornamelijk 120°-scheuren

• Gekoelde basalt bij Giant’s Causeway. Verticale scheuren van voornamelijk 120° waardoor zeshoekige zuilen ontstaan

• Palmstam met vertakkende verticale scheuren (en horizontale bladlittekens)

Vlekken, strepenEdit

Luipaarden en lieveheersbeestjes zijn gevlekt; angelfish en zebra’s zijn gestreept. Deze patronen hebben een evolutionaire verklaring: ze hebben functies die de kans vergroten dat de nakomelingen van het dier met het patroon zullen overleven om zich voort te planten. Eén functie van dierpatronen is camouflage; een luipaard die moeilijker te zien is, vangt bijvoorbeeld meer prooien. Een andere functie is signalering – een lieveheersbeestje zal bijvoorbeeld minder snel worden aangevallen door roofvogels die op zicht jagen, als het opvallende waarschuwingskleuren heeft, en ook nog eens onsmakelijk bitter of giftig is, of andere onsmakelijke insecten nabootst. Een jonge vogel kan een insect met een waarschuwend patroon zoals een lieveheersbeestje zien en proberen het op te eten, maar hij zal dit slechts één keer doen; al snel zal hij het bittere insect uitspugen; de andere lieveheersbeestjes in de buurt zullen ongemoeid blijven. De jonge luipaarden en lieveheersbeestjes, die genen erven die op de een of andere manier voor gevlektheid zorgen, overleven. Maar terwijl deze evolutionaire en functionele argumenten verklaren waarom deze dieren hun patronen nodig hebben, verklaren zij niet hoe de patronen worden gevormd.

• Dirce beauty vlinder, Colobura dirce

• Grevy’s zebra, Equus grevyi

• Royal angelfish, Pygoplites diacanthus

• Luipaard, Panthera pardus pardus

• Array van lieveheersbeestjes door G.G. Jacobson

• Broedpatroon van zeekatten, Sepia officinalis