Rozmawiam z szeroką gamą ludzi podczas prowadzenia sesji oglądania teleskopów lub rozmów na tematy związane z astronomią. Jednym z najczęstszych pytań, jakie dostaję, jest „skąd wiemy, że……?”. Może to być „skąd wiemy jak duży jest Saturn”, albo „skąd wiemy jak daleko jest Słońce”, wszystkie te pytania podkreślają fundamentalny postęp nauki w ciągu ostatnich kilku stuleci i niektóre z najbardziej przełomowych odkryć dokonanych przez takich naukowców jak Newton i Halley z długiej listy pionierów nauki. I thought I would delve a little into the question of how do we know the mass of Saturn.
These days we have the benefit of an a few equations to calculate the value but imagine what it must have been like for the early astronomers of the 1600s and 1700s who had only just gained the benefit of using telescopes and were starting to piece together the puzzles of the universe, starting with our own Solar System.
Znalezienie okresu orbitalnego Saturna
Przyjrzyjrzyjmy się temu problemowi krok po kroku, najpierw musimy wiedzieć, ile czasu zajmuje Saturnowi wykonanie jednego obrotu wokół Słońca. Można to po prostu zrobić poprzez obserwacje przez długi okres czasu i jest to jedna z kluczowych informacji pozwalających zrozumieć, gdzie dana planeta pasuje do Układu Słonecznego. W przypadku Saturna, obserwator musi po prostu patrzeć jak Saturn śledzi drogę przez gwiazdy tła na ekliptyce aż do 29 lat później, kiedy wykona jeden pełny obrót.
Ponieważ Ziemia dogania i mija Saturna każdego roku, planeta robi trochę retrogradacji i wydaje się iść na zachód przez krótki czas każdego roku, więc ścieżka przez ekliptykę nie jest gładka. Pomijając niewielki ruch wsteczny, każdego roku planeta powoli maszeruje przez ekliptykę na wschód. Tak więc uważne obserwacje Saturna dałyby liczbę 29,44 lat ziemskich, w ciągu których planeta wykonuje jedno okrążenie wokół Słońca. Możesz zmierzyć to sam, musisz tylko być bardzo cierpliwy.
Odkąd obserwatorzy wiedzieli, że Słońce jest centrum Układu Słonecznego, mogli stosunkowo łatwo obliczyć okresy orbitalne planet. Kepler opracował trzy prawa ruchu planetarnego we wczesnych latach 1600 i zostały one wykorzystane do obliczenia, jak daleko planety były od Słońca.
Trzecie prawo ruchu planetarnego Keplera
Trzecie prawo ruchu planetarnego Keplera stwierdza, że kwadrat orbity planety jest równy sześcianowi jej osi półgórnej, więc po odkryciu tego związku Kepler mógł obliczyć względną odległość planet od Słońca. Aby obliczyć półoś główną Saturna, potrzebujemy tylko okresu orbitalnego, który już otrzymaliśmy dzięki starannym obserwacjom w ciągu ostatnich 29 lat.
W powyższym wyliczeniu 9,534 cośtam to tak naprawdę miara zwana jednostkami astronomicznymi. Jedna jednostka astronomiczna to odległość Ziemi od Słońca. Jeśli więc okres orbitalny Ziemi wynosi jeden rok, to kwadrat tego okresu musi być równy jeden, a także równy sześcianowi półosi głównej. Oś półmagnetyczna jest jedną jednostką astronomiczną, a sześcian jedynki równa się jeden, więc wszystko jest w kategoriach okresu orbitalnego Ziemi i odległości Ziemi od Słońca, stąd odpowiedź dla Saturna musi być również w kategoriach odległości Ziemi od Słońca.
Jednostka Astronomiczna
W 1700 roku naukowcy nie znali odległości Ziemi od Słońca i zajęło im to sporo pracy i skrupulatnych obserwacji tranzytu Wenus w 1761 i 1769 roku, aby w końcu ustalić, że odległość ta wynosi około 150 000 000 km. Kiedy już to zrobili, wiedzieli, że Saturn musi być oddalony od Słońca o 1 427 000 000 000 000 km. Ta liczba oraz odległość Ziemi od Słońca, a także wiedza o tym, gdzie Ziemia i Saturn znajdują się względem siebie, pozwala nam określić odległość Ziemi od Saturna. Liczba ta jest ważna, aby zmierzone odległości kątowe zamienić na odległości bezwzględne w metrach.
Tytan
Aby otrzymać masę Saturna musimy znaleźć księżyc Saturna, którego możemy dokonać pomiarów. Najjaśniejszym księżycem jest Tytan o magnitudzie +9,3, więc przy użyciu rozsądnego teleskopu można dokonać dość dokładnych pomiarów jego okresu orbitalnego i półosi głównej.
Obserwując Tytana przez teleskop przez kilka miesięcy, możemy ustalić, że ma on okres orbitalny 15,95 dnia z rozsądną dokładnością. Nie możemy użyć trzeciego prawa Keplera, aby znaleźć półoś główną Tytana, ponieważ zależy ona od masy Saturna, która jest zupełnie inna niż masa Słońca, udawajmy, że nie znamy stałej dla układu Saturna. Dobrą wiadomością jest to, że możemy zmierzyć oś pół-dur.
Teleskopy mogą wykonywać bardzo dokładne pomiary kątowe, więc przy odrobinie trygonometrii możemy obliczyć, że oś pół-dur Tytana wynosi około 1 200 000 km. Wiemy to, ponieważ obliczyliśmy już odległość od Słońca do Saturna i znamy odległość od Ziemi do Słońca oraz wiemy, gdzie obie planety znajdują się względem siebie na swoich orbitach.
Czas na obliczenia
Aby obliczyć masę Saturna, trzeba trochę popracować nad trzecim prawem ruchu planetarnego Keplera, więc na szczęście przyszedł Newton, który zorientował się, że istnieje związek między masą a prędkością, z jaką coś orbituje, im cięższa planeta, tym silniejsze przyciąganie na jednym z jej księżyców, a zatem tym szybciej ten księżyc będzie orbitował. Jeśli więc zmierzysz okres orbitalny księżyca Saturna i wyznaczysz półoś główną tego księżyca, to przy odrobinie matematyki możesz obliczyć masę Saturna.
Ta formuła wygląda trochę przerażająco na początku, ale w rzeczywistości jest bardzo podobna do trzeciego prawa Keplera, z wyjątkiem tego, że Newton upchnął całą masę dodatkowych rzeczy przed sześcianem półosi głównej (a³). Więc jeśli tylko zajmiemy się rzeczami przed a³ i powyżej linii to zobaczymy, że jest to czterokrotność kwadratu pi, który jest zawsze tą samą wartością około 39.44.
Making the Formula a Bit Simpler
Odrobina pod linią jest trochę bardziej wymagająca. Po pierwsze „G” jest stałą grawitacyjną, której określenie zajęło dużo czasu, ale teraz wiemy, że wynosi ona 0,000000000000667 m³/kgs². Dwa „M” reprezentują masę Saturna i masę Tytana. Można je zredukować do jednego „M”, ponieważ możemy powiedzieć, że masa Tytana jest tak mała w porównaniu z masą Saturna, że nie ma to większego znaczenia dla obliczeń. Masa Saturna plus masa Tytana jest bardzo zbliżona do masy Saturna, więc możemy skutecznie zignorować masę Tytana w obliczeniach. Tak więc wzór staje się:
Musimy tylko zrobić trochę algebry, aby wszystko było równe M, ponieważ to jest wartość, którą chcemy znaleźć.
Więc wiemy, że „a” wynosi 1 200 000 km, ale potrzebujemy tego w metrach, które wynoszą 1 200 000 000 metrów. Wiemy, że „p” wynosi 15,95 dnia, ale potrzebujemy tego w sekundach, czyli 1 378 080 sekund. Wiemy już, że stała G wynosi 0,000000000000667 m³/kgs².
Jeśli wpiszemy wszystkie te liczby do powyższego wzoru, powinniśmy otrzymać masę Saturna w kilogramach. Jeśli wpiszemy te liczby do kalkulatora, otrzymamy 5,38 x 10²⁶kg, co jest dość bliskie rzeczywistej wartości 5,68 x 10²⁶kg (około 95 razy więcej masy niż Ziemia).
Jeśli użyjemy danych dla Iapetusa, otrzymamy większą wartość 5,87 x10²⁶kg, a dla Phoebe znacznie bliższą 5.6 x 10²⁶kg, chociaż będziesz potrzebował bardzo potężnego teleskopu, aby wykonać pomiary Phoebe, biorąc pod uwagę, że jej magnitudo wynosi 17,3, więc jest bardzo niewyraźna.
Masz to, jak obliczyć masę Saturna, wszystko, czego potrzebowałeś, to teleskop, wiele pogodnych nocy, kalkulator i kilka bardzo przydatnych wzorów opracowanych przez Keplera i Newtona. Potrzebna była też dobra praca wielu naukowców i astronomów, którzy wymyślili jednostkę astronomiczną i stałą grawitacyjną. Niesamowite jest to, że możesz to wszystko zrobić z powierzchni Ziemi.
Dobrze, teraz idź i oblicz masę Jowisza!
.