Falo com uma grande variedade de pessoas quando faço sessões de visão telescópica ou palestras sobre tópicos relacionados com astronomia. Uma das perguntas mais comuns que eu recebo é “como sabemos……?”. Pode ser “como sabemos quão grande é Saturno”, ou “como sabemos a que distância está o Sol”, todas essas perguntas destacam o progresso fundamental da ciência ao longo dos últimos séculos e algumas das descobertas mais inovadoras feitas por pessoas como Newton e Halley entre uma longa lista de pioneiros da ciência. Pensei em mergulhar um pouco na questão de como conhecemos a massa de Saturno.
Estes dias temos o benefício de algumas equações para calcular o valor, mas imagine como deve ter sido para os primeiros astrônomos dos anos 1600 e 1700, que tinham acabado de ganhar o benefício de usar telescópios e estavam começando a montar os quebra-cabeças do universo, começando com o nosso próprio Sistema Solar.
Encontrar o Período Orbital de Saturno
Vejamos este problema um passo de cada vez, primeiro precisamos saber quanto tempo leva para Saturno fazer uma rotação do Sol. Isto é feito simplesmente através de observações durante um longo período de tempo e é uma das peças chave de informação para entender onde um planeta se encaixa no sistema solar. Para Saturno, um observador só tem de observar Saturno a percorrer as estrelas de fundo no eclíptico até 29 anos mais tarde, quando é feito um círculo completo.
Porque a Terra apanha e passa Saturno todos os anos o planeta faz um pouco de retrógrado e parece ir para Oeste por um curto período de tempo todos os anos para que o caminho através do eclíptico não seja suave. Para além do pequeno movimento retrógrado, todos os anos o planeta marcha lentamente através do eclíptico para o Oriente. Assim, a observação cuidadosa de Saturno daria um número de 29,44 anos terrestres para que o planeta fizesse uma volta ao redor do Sol. Você mesmo pode medi-lo, você só precisa ser muito paciente.
Once observadores sabiam que o Sol era o centro do Sistema Solar que eles podiam calcular com relativa facilidade os períodos orbitais dos planetas. Kepler elaborou as três leis do movimento planetário no início dos anos 1600 e elas foram usadas para descobrir a que distância os planetas estavam do Sol.
A Terceira Lei do Movimento Planetário de Kepler
A terceira lei do movimento planetário de Kepler afirma que o quadrado da órbita de um planeta é igual ao cubo do seu semi-eixo maior, então uma vez que essa relação fosse descoberta, Kepler poderia calcular a distância relativa que os planetas estavam do Sol. Para calcular o semi-eixo de Saturno, tudo o que precisamos é do período orbital que já obtivemos através de observação cuidadosa nos últimos 29 e bit anos.
No cálculo acima, o 9.534 somethings é na verdade uma medida chamada unidades astronômicas. Uma unidade astronômica é a distância da Terra até o Sol. Assim, se o período orbital da Terra é de um ano, então o quadrado deste deve ser igual a um e também igual ao cubo do semi-eixo maior. O semi-eixo maior é uma unidade astronómica e o cubo de um é igual a um, portanto tudo é em termos do período orbital da Terra e da distância da Terra ao Sol, daí que a resposta para Saturno também deva ser em termos da distância da Terra ao Sol.
A Unidade Astronómica
Retrocedendo em 1700, os cientistas não sabiam a distância da Terra ao Sol e foi necessário muito trabalho e observações meticulosas do Trânsito de Vénus em 1761 e 1769 para finalmente se chegar à conclusão que a distância era de cerca de 150.000.000 km. Uma vez feito isso, eles então sabiam que Saturno deve estar a 1.427.000.000.000 km do Sol. Este número e a distância da Terra ao Sol e saber onde a Terra e Saturno são relativos um ao outro pode nos permitir determinar a distância da Terra a Saturno. Esta figura é importante para transformar as distâncias angulares medidas em distâncias absolutas em metros.
Titan
Para obter a massa de Saturno precisamos encontrar uma lua de Saturno que possamos medir. A mais brilhante é Titã com uma magnitude de cerca de +9,3 por isso com um telescópio razoável, algumas medições bastante precisas podem ser feitas do seu período orbital e semi-eixos.
Observando Titã através de um telescópio durante alguns meses podemos determinar que tem um período orbital de 15,95 dias a um grau razoável de precisão. Não podemos usar a terceira lei de Kepler para encontrar o eixo semi-grande de Titã porque isso depende da massa de Saturno – que é bem diferente do Sol, vamos fingir que não sabemos a constante para o sistema de Saturno. A boa notícia é que podemos medir o semi-eixo maior.
Telcópios podem fazer medições angulares muito finas então com um pouco de trigonometria podemos calcular o semi-eixo de Titã para ser cerca de 1.200.000 km. Sabemos isso porque já calculamos a distância do Sol a Saturno e sabemos a distância da Terra ao Sol e sabemos onde ambos os planetas são relativos um ao outro em suas respectivas órbitas.
Tempo para calcular
Para calcular a massa de Saturno é preciso trabalhar um pouco mais na terceira lei de Kepler do movimento planetário, por sorte Newton descobriu que havia uma relação entre a massa e a velocidade a que algo orbita, quanto mais pesado for o planeta mais forte será a atração sobre uma de suas luas e, portanto, mais rápida será a órbita da lua. Então, se você medir o período orbital de uma lua de Saturno e trabalhar o eixo semi-grande dessa lua, então com um pouco de matemática você pode calcular a massa de Saturno.
Formando a Fórmula um pouco mais simples
O bit debaixo da linha é um pouco mais desafiador. Primeiro o “G” é a constante gravitacional que demorou muito tempo a perceber mas agora sabemos que é 0,0000000000667 m³/kgs². Os dois “M “s representam a massa de Saturno e a massa de Titã. Estes podem ser reduzidos a um “M”, porque podemos dizer que a massa de Titã é tão pequena em comparação com a massa de Saturno que dificilmente faria diferença para o cálculo. A massa de Saturno mais a massa de Titã está muito próxima apenas da massa de Saturno, por isso podemos efetivamente ignorar a massa de Titã no cálculo. Assim a fórmula torna-se:
Só temos de fazer um pouco de álgebra para tornar tudo igual a M, porque é esse o valor que queremos encontrar.
Então sabemos que “a” é 1.200.000 km, mas precisamos disso em metros que é 1.200.000.000 de metros. Sabemos que “p” é 15,95 dias, mas precisamos disso em segundos, que é 1.378.080 segundos. Já sabemos que a constante para G é 0,0000000000667 m³/kgs².
Se ligarmos todos esses números à fórmula acima, devemos obter a massa de Saturno em quilogramas. Se você ligar esses números em uma calculadora você receberá 5,38 x 10²⁶kg que é muito próximo do valor real de 5,68 x 10²⁶kg (cerca de 95 vezes mais massa que a Terra).
Se você usar dados para Iapetus então o valor é maior em 5,87 x10²⁶kg e para Phoebe o valor é muito mais próximo de 5.6 x 10²⁶kg, embora você vai precisar de um telescópio muito poderoso para fazer medições da Phoebe, dada a sua magnitude é de 17,3 tão pouco.
Aí você tem, como calcular a massa de Saturno, tudo o que você precisava era de um telescópio, muitas noites claras, uma calculadora e algumas fórmulas muito úteis, descobertas por Kepler e Newton. Além disso, você precisava de todo o bom trabalho de muitos cientistas e astrônomos que descobriram a unidade astronômica e a constante gravitacional. O surpreendente é que você pode fazer tudo isso da superfície da Terra.
Okay, agora vá calcular a massa de Júpiter!