Ao olhar em volta da natureza, você deve ter notado plantas intrincadas como estas:
Esta samambaia consiste em muitas folhas pequenas que se ramificam de uma maior.
Este brócolis Romanesco consiste em pequenas conescubesferas em espiral em torno de uma maior.
Inicialmente, estas parecem formas altamente complexas – mas quando se olha mais de perto, pode-se notar que ambas seguem um padrão relativamente simples: todas as partes individuais das plantas parecem exactamente as mesmas que a planta inteira, apenas mais pequenas. O mesmo padrão é repetido uma e outra vez, em escalas menores.
Em matemática, chamamos esta propriedade de auto-similaridade, e as formas que a têm são chamadas de fractais. Eles são alguns dos objetos mais bonitos e bizarros em todas as matemáticas.
Para criar nossos próprios fractais, temos que começar com um padrão simples e depois repeti-lo várias vezes, em escalas menores.
Um dos padrões mais simples pode ser um segmento de linha, com mais dois segmentos ramificando de uma ponta. Se repetirmos este padrão, ambos os segmentos azuis também terão mais dois ramos nas suas extremidades.
Você pode mover os pontos azuis para alterar o comprimento e o ângulo de todos os ramos. Depois aumente o número de iterações usando o deslizador abaixo.
Dependendo da posição dos ramos, você pode fazer padrões completamente diferentes – parecendo com o samambaia acima, uma árvore, ou pentágonos aninhados. O que mais você pode encontrar?
Outro fractal famoso é o triângulo Sierpinski. Neste caso, começamos com um triângulo grande e equilátero, e depois cortamos repetidamente triângulos menores das partes restantes.
Observe como a forma final é composta por três cópias idênticas de si mesma, e cada uma delas é composta por cópias ainda menores de todo o triângulo! Você poderia continuar a fazer zoom no triângulo para sempre, e os padrões e formas continuarão sempre a repetir-se.
As plantas no início deste capítulo parecem-se com fractais, mas é claramente impossível criar fractais verdadeiros na vida real. Se continuarmos a repetir o mesmo padrão vezes sem conta, cada vez mais pequenos, chegaremos eventualmente a células, moléculas ou átomos que já não podem ser divididos.
No entanto, usando a matemática, podemos pensar nas propriedades que os fractais reais “teriam” – e estas são muito surpreendentes…
Dimensões dos fractais
Primeiro, vamos pensar na dimensão dos fractais. Uma linha tem dimensão . Ao escalá-la por um fator de 2, seu comprimento aumenta por um fator de 21=2. Obviamente!
Um quadrado tem dimensão . Ao escalá-lo por um fator de 2, sua área aumenta por um fator de 22= .
Um cubo tem dimensão . Ao escalá-lo por um fator de 2, seu volume aumenta por um fator de 23= . Note que o cubo maior da imagem consiste em 8 cópias do menor!
Agora vamos dar uma olhada no triângulo Sierpinski. Se o dimensionarmos por um factor de 2, podemos ver que a sua “área” aumenta por um factor de .
Digamos que d é a dimensão do triângulo Sierpinski. Usando o mesmo padrão que acima, obtemos 2d=3. Em outras palavras, d = log23log32 ≈ 1.585…
Mas espere… como pode algo ter uma dimensão que não é um número inteiro? Parece impossível, mas esta é apenas uma das estranhas propriedades dos fractais. Na verdade, é isto que dá nome aos fractais: eles têm uma dimensão fracionária.
Com cada iteração, removemos parte da área do triângulo Sierpinski. Se pudéssemos fazer isto infinitamente muitas vezes, na verdade não haveria mais área: é por isso que o triângulo Sierpinski é algo entre uma área bidimensional, e uma linha unidimensional.
Embora muitos fractais sejam auto-similares, uma melhor definição é que fractais são formas que têm uma dimensão não-inteira.
O Floco de Neve Koch
Há muitas formas na natureza que se parecem com fractais. Já vimos algumas plantas no início deste capítulo. Outros grandes exemplos são flocos de neve e cristais de gelo:
Para criarmos o nosso próprio floco de neve fractal, temos mais uma vez de encontrar um procedimento simples que possamos aplicar repetidamente.
Tal como o triângulo Sierpinski, vamos começar com um triângulo único, equilátero. Entretanto, ao invés de remover triângulos menores a cada passo, nós adicionamos triângulos menores ao longo da borda. O comprimento lateral de cada triângulo é 131412 dos triângulos no passo anterior.
A forma resultante é chamada de floco de neve Koch, nomeado em homenagem ao matemático sueco Helge von Koch. Note, mais uma vez, que pequenas secções da borda do floco de neve parecem exactamente iguais às secções maiores.
Quando escalamos um segmento da borda do floco de neve Koch por um factor de 3, o seu comprimento quadruplica.
Usando a mesma relação entre dimensões e fatores de escala como acima, obtemos a equação 3d=42d=42d=34d=3. Isto significa que a dimensão do floco de neve de Koch é d=log34≈1.262.
Área
Criar os flocos de neve de Koch é quase como uma sequência recursiva: conhecemos a forma inicial (um triângulo), e sabemos como passar de um termo para o seguinte (adicionando mais triângulos em cada borda):
novos triângulos
novos triângulos
novos triângulos
Após a primeira iteração, o número de novos triângulos adicionados aumenta por um factor de a cada passo. Ao mesmo tempo, a área destes novos triângulos diminui por um fator de a cada passo.
Digamos que o primeiro triângulo tem uma área de 1. Então a área total dos três triângulos seguintes é 3×19=13. Os passos seguintes formam todos uma série geométrica série aritmética sériequadrática, com razão comum 499443.
Usando a fórmula para a soma das séries geométricas infinitas, podemos calcular que a área total do floco de neve de Koch é
A=1+13×11-491+949-14=85=1.6.
Perímetro
Também podemos tentar calcular o perímetro do floco de neve de Koch. Como já vimos anteriormente, o comprimento do perímetro muda por um factor de 433414 a cada passo.
Isto significa que, mais uma vez, temos uma série geométrica – mas neste caso, não converge em 0doesnão tem um primeiro termo. Isto significa que o perímetro do floco de neve Koch é na verdade infinitamente longo!
Se isto parecer contra-intuitivo, basta lembrar que multiplicamos o perímetro por 43 a cada passo, e fazemos isto infinitamente muitas vezes.
É quase impensável que você possa ter uma forma com uma área finita e também uma circunferência infinita – mas esta é apenas uma das muitas propriedades inesperadas dos fractais.
Pode você inventar qualquer outra forma de criar seus próprios fractais?
“A minha alma está a espiralar em fractais congelados por todo o lado…”
Menger Sponge
Fractals não têm de ser “planos”, como muitos dos exemplos acima. Um dos fractais mais famosos que parecem tridimensionais é a esponja Menger, com o nome do matemático Karl Menger que a descreveu pela primeira vez em 1926.
Começamos com um cubo sólido, e repetidamente fazemos furos cada vez menores em seus lados. Cada nova iteração de furos tem 131214 a largura da iteração anterior.
Um cubo 3×3×3 consiste em 27 cubos menores, mas aqui removemos alguns destes. A esponja Menger consiste em cópias de si mesma, que são 3 vezes menores.
Agora podemos tentar calcular a dimensão d da esponja Menger tal como fizemos para o floco de neve Koch acima. Neste caso obtemos 3d=20, ou d=log320≈2.727.
Se você imaginar cortar mais e mais buracos, infinitamente muitas vezes, não haveria nenhum volume real. É por isso que o cubo é “não é bem” tridimensional!
Fractal Coastlines
Uma das principais características de todos os fractais que vimos até agora é que você pode “ampliar” para sempre e sempre encontrar novos padrões. Por volta de 1920, o matemático britânico Lewis Fry Richardson percebeu que o mesmo é verdade para a fronteira ou costa de muitos países.
Você começa com a forma básica do país, e à medida que aumenta o zoom, você adiciona enseadas de rios, baías e estuários, depois penhascos individuais, rochas, calhaus, e assim por diante:
Este é um problema significativo quando se tenta calcular o comprimento da fronteira de um país – como se decide a que distância se deve fazer o zoom e que recantos e recantos incluir?
Uma forma de podermos medir o comprimento da costa britânica, por exemplo, é pegar numa régua longa, andar pelas suas praias, e depois somar todas as distâncias.
Se a régua tiver ${régua}km de comprimento, temos de a usar ${conta} vezes, por isso obtemos uma linha costeira total de ${conta} × ${rules} = ${conta * réguas}km.
Podemos continuar, com réguas cada vez menores, e cada vez que o nosso resultado para a extensão da linha costeira seria um pouco mais longo. Assim como o Floco de Neve Koch antes, parece que a linha costeira da Grã-Bretanha é infinitamente longa! Isto é muitas vezes chamado de paradoxo da linha costeira.
Algumas décadas mais tarde, o matemático Benoit Mandelbrot tropeçou no trabalho de Richardson num livro de biblioteca descartado, enquanto trabalhava na IBM. Ele reconheceu seu significado, e também como ele se relaciona com pesquisas mais recentes sobre fractais e dimensões.
O litoral da Grã-Bretanha certamente “parece” fractal, mas não é auto-similar, como outros fractais que já vimos antes. Para encontrar o seu tamanho, podemos desenhá-lo numa grelha e contar o número de células com que se intersecta.
Inicialmente, existem 88 células que se intersectam. Se dimensionarmos a linha costeira por um factor de 2, existem 197 células que se intersectam – mais do dobro!
O tamanho da linha costeira aumentou por um factor de 19788. Como antes, isto significa que a dimensão da linha costeira é
d=log219788≈1.16
Se repetirmos isto com grelhas maiores, verificaremos que a dimensão da linha costeira da Grã-Bretanha é na verdade aproximadamente 1,21. Mandelbrot percebeu que essa dimensão fractal também é uma medida da rugosidade de uma forma – um novo conceito, para o qual ele encontrou aplicações importantes em muitas outras áreas da matemática e da ciência.
Mais fractais na natureza e na tecnologia
Embora os verdadeiros fractais nunca possam aparecer na natureza, há muitos objetos que se parecem quase com fractais. Já vimos plantas, flocos de neve e linhas costeiras, e aqui estão mais alguns exemplos:
Cordilheira na Ásia Central
Delta do rio Ganges na Índia
Relâmpagos
Vasos sanguíneos na retina
Grand Canyon nos EUA
Nuvens
Todos estes objectos podem aparecer completamente aleatórios, mas, assim como os fractais, há um padrão subjacente que determina como eles são formados. A matemática pode nos ajudar a entender melhor as formas, e os fractais têm aplicações em campos como medicina, biologia, geologia e meteorologia.
Terreno fractal gerado por computador
Também podemos usar fractais para criar “cópias” realistas da natureza, por exemplo, como paisagens e texturas usadas em jogos de vídeo ou filmes gerados por computador. A água, montanhas e nuvens nesta imagem são feitas inteiramente por um computador, com a ajuda de fractais!
E podemos até inverter este processo para comprimir imagens digitais, para reduzir seu tamanho de arquivo. Os primeiros algoritmos foram desenvolvidos por Michael Barnsley e Alan Sloan nos anos 80, e novos estão sendo pesquisados até hoje.