Polynomy: Definice a vyhodnocení

• Purplemath
• Co je polynom?
• MathHelp.com
• Terminologie
• Uveďte stupeň polynomu a hodnoty vedoucího koeficientu a případného konstantního členu následujícího polynomu: Tento polynom má čtyři členy, z toho člen pátého stupně, člen třetího stupně, člen prvního stupně a člen neobsahující žádnou proměnnou, což je konstantní člen.
• Určete stupeň mnohočlenu a vypište hodnoty vedoucího koeficientu a případného konstantního členu následujícího mnohočlenu: 6×2 + 7×4 + x
• Názvy polynomů
• Vyhodnocení
• Vyhodnoť 2×3 – x2 – 4x + 2 při x = -3
• Vyhodnoť x5 + 4×4 – 9x + 7 při x = -2

Purplemath

Již byste měli znát proměnné a exponenty a možná jste se setkali s výrazy jako 3×4 nebo 6x. Polynomy jsou součty těchto výrazů „proměnných a exponentů“. Každá část polynomu (tedy každá část, která se sčítá) se nazývá „člen“.

Co je polynom?

Polynomy jsou součty (a rozdíly) polynomových „členů“.

Obsah pokračuje níže

MathHelp.com

Aby byl výraz polynomickým členem, musí mít všechny proměnné ve výrazu celočíselné mocniny (nebo jinak „chápanou“ mocninu 1, jako ve výrazu x1, který se obvykle zapisuje jako x). Obyčejné číslo může být také polynomickým členem. Aby byl výraz polynomickým členem, nesmí obsahovat zejména odmocniny proměnných, žádné zlomkové nebo záporné mocniny na proměnných a žádné proměnné ve jmenovatelích žádných zlomků. Zde je několik příkladů:

Terminologie

K vytvoření mnohočlenu vezmeme několik členů a sečteme je (a odečteme). Zde je typický polynom:

Všimněte si exponentů (tj. mocnin) u každého ze tří členů. První člen má exponent 2; druhý člen má „rozuměj“ exponent 1 (který se obvykle nepočítá); a poslední člen nemá vůbec žádnou proměnnou, takže exponenty nejsou problém. Protože v tomto posledním členu není žádná proměnná, jeho hodnota se nikdy nemění, takže se nazývá „konstantní“ člen.

(Poznámka: Pokud bychom chtěli být velmi techničtí, mohli bychom říci, že konstantní člen obsahuje proměnnou, ale že proměnná má tvar „x0“. Proměnná, která má mocninu nuly, se vždy vyhodnotí jako 1, takže ji ignorujeme, protože na tom nic nemění: 7×0 = 7(1) = 7.)

Všimněte si také, že mocniny na výrazech začínaly od největší, kterou je 2, na prvním členu a od ní se počítaly dolů. Jiný výraz pro „mocninu“ nebo „exponent“ je „pořadí“. Když jsou členy zapsány tak, že mocniny na proměnných jdou od největší po nejmenší, říká se tomu zápis „v sestupném pořadí“. Polynomy se obvykle zapisují v sestupném pořadí, přičemž konstantní člen je na konci. (Poznámka: Někteří vyučující započítají odpověď špatně, pokud jsou členy polynomu zcela správně, ale nejsou zapsány v sestupném pořadí.)

První člen v polynomu, pokud je tento polynom zapsán v sestupném pořadí, je zároveň členem s největším exponentem a nazývá se „vedoucí“ člen.

Pokud je proměnná v členu vynásobena číslem, pak se toto číslo nazývá „koeficient“ (koh-ee-FISH-int) neboli „číselný koeficient“ členu. Koeficient vedoucího členu (kterým je ve výše uvedeném příkladu „4“) je „vedoucí koeficient“. Pokud na proměnné části výrazu není žádné násobené číslo, pak je (v technickém smyslu) koeficient tohoto výrazu 1.

Exponent na proměnné části výrazu udává „stupeň“ tohoto výrazu. Například mocnina na proměnné x ve vedoucím členu ve výše uvedeném polynomu je 2; to znamená, že vedoucí člen je člen „druhého stupně“ neboli „člen druhého stupně“. Druhý člen je člen „prvního stupně“ neboli „člen stupně jedna“.

V každém polynomu vám stupeň vedoucího členu říká stupeň celého polynomu, takže výše uvedený polynom je „polynom druhého stupně“ neboli „polynom stupně dva“.

• Uveďte stupeň polynomu a hodnoty vedoucího koeficientu a případného konstantního členu následujícího polynomu: Tento polynom má čtyři členy, z toho člen pátého stupně, člen třetího stupně, člen prvního stupně a člen neobsahující žádnou proměnnou, což je konstantní člen.

  Největší mocnina na libovolné proměnné je 5 v prvním členu, takže se jedná o polynom pátého stupně, jehož vedoucím členem je 2×5. Číselná část vedoucího členu je 5, což je vedoucí koeficient.

  Existuje člen, který neobsahuje žádné proměnné; je to 9 na konci.

  stupeň: 5
  vedoucí koeficient: 2
  konstanta: 9

  • Určete stupeň mnohočlenu a vypište hodnoty vedoucího koeficientu a případného konstantního členu následujícího mnohočlenu: 6×2 + 7×4 + x

  Tento polynom má tři členy: člen druhého stupně, člen čtvrtého stupně a člen prvního stupně. Není zde žádný konstantní člen.

  Ty tři členy nejsou zapsány v sestupném pořadí, jak jsem si všiml. Člen 6×2 je sice napsán jako první, ale není „vedoucím“ členem, protože nemá nejvyšší stupeň. Členem s nejvyšším stupněm je člen 7×4, takže se jedná o mnohočlen čtvrtého stupně. Také tento člen, i když není uveden jako první, je skutečným vedoucím členem; jeho koeficient je 7.

  stupeň: 4
  vedoucí koeficient: 7
  konstanta: žádná

  K procvičení hledání stupně mnohočlenu můžete použít níže uvedený widget Mathway. Vyzkoušejte si zadané cvičení nebo zadejte vlastní. Poté klikněte na tlačítko a přejděte dolů a vyberte možnost „Find the Degree“ (nebo přejděte o kousek dál a vyberte možnost „Find the Degree, Leading Term, and Leading Coefficient“) a porovnejte svou odpověď s odpovědí Mathway. (Nebo widget přeskočte a pokračujte v lekci.)

  Pro zapnutí tohoto widgetu přijměte cookies „preferencí“.

  (Klepnutím na „Klepnutím na zobrazit kroky“ se dostanete přímo na stránky Mathway pro placený upgrade.)

  Obsah pokračuje níže

  Názvy polynomů

  Kratší polynomy však mají své vlastní názvy podle počtu členů:

  Nevím, zda existují názvy pro polynomy s větším počtem členů; nikdy jsem neslyšel o jiných názvech než o třech, které jsem uvedl.

  Polynomy se také někdy pojmenovávají podle stupně:

  Existují názvy pro některé polynomy vyšších stupňů, ale nikdy jsem neslyšel o tom, že by se používaly jiné názvy než ty, které jsem uvedl výše.

  Mimochodem, ano, předpona „quad“ obvykle znamená „čtyři“, jako když se čtyřkolka označuje jako „quad bike“ nebo dron se čtyřmi vrtulemi se nazývá „quad-copter“. U mnohočlenů je však „quad“ ve slově „quadratic“ odvozeno z latinského výrazu pro „vytvoření čtverce“. Stejně jako když vynásobíte délku šířkou (například místnosti), abyste zjistili plochu, jednotky na ploše budou zvýšeny na druhou mocninu. Například plocha místnosti o rozměrech 6 × 8 metrů je 48 m2. Označení „quad“ pro polynomy druhého stupně tedy odkazuje na čtyři rohy čtverce, z geometrických počátků parabol a raných polynomů.

  Příbuzný

  Vyhodnocení

  „Vyhodnocení“ polynomu je stejné jako vyhodnocení čehokoli jiného; to znamená, že vezmete zadané hodnoty, dosadíte je za příslušné proměnné a zjednodušením zjistíte výslednou hodnotu.

  • Vyhodnoť 2×3 – x2 – 4x + 2 při x = -3

  • Vyhodnoť x5 + 4×4 – 9x + 7 při x = -2

  Zapojím -2 pro každý případ x a zjednoduším:

  (-2)5 + 4(-2)4 – 9(-2) + 7

  (-32) + 4(16) – (-18) + 7

  -32 + 64 + 18 + 7

  -32 + 89

  Při vyhodnocování vždy pamatujte na opatrnost se znaménky „minus“!

  K procvičování vyhodnocování mnohočlenů můžete použít níže uvedený widget Mathway. Vyzkoušejte si zadané cvičení nebo zadejte vlastní. Poté klikněte na tlačítko a porovnejte svou odpověď s odpovědí Mathway. (Nebo widget přeskočte a pokračujte v lekci.)

  Pro zapnutí tohoto widgetu přijměte cookies „preferencí“.

  (Klepnutím na „Klepnutím na zobrazit kroky“ se dostanete přímo na stránky Mathway pro placený upgrade.)

  URL: https://www.purplemath.com/modules/polydefs.htm

  Strana 1Strana 2

  .