Polynomier: Definitioner og evaluering

MathHelp.com

For at et udtryk kan være et polynomiumterm, skal alle variabler i udtrykket have hele tals potenser (eller ellers den “forståede” potens af 1, som i x1, der normalt skrives som x). Et almindeligt tal kan også være et polynomiumudtryk. For at et udtryk kan være et polynomiumterm, må det ikke indeholde kvadratrødder af variabler, ingen brøk- eller negative potenser på variablerne og ingen variabler i nævnerne af brøker. Her er nogle eksempler:

Terminologi

For at skabe et polynomium tager man nogle termer og adderer (og subtraherer) dem sammen. Her er et typisk polynomium:

Bemærk eksponenterne (dvs. potenserne) på hver af de tre termer. Den første term har en eksponent på 2; den anden term har en “forstået” eksponent på 1 (som sædvanligvis ikke er medtaget); og den sidste term har slet ingen variabel, så eksponenter er ikke et problem. Da der ikke er nogen variabel i denne sidste term, ændrer dens værdi sig aldrig, så den kaldes den “konstante” term.

(Bemærk: Hvis man skulle være meget teknisk, kunne man sige, at den konstante term inkluderer variablen, men at variablen er i formen “x0”. Da variablen har en potens af nul, vil den altid blive evalueret til 1, så den ignoreres, fordi den ikke ændrer noget: 7×0 = 7(1) = 7.)

Bemærk også, at potenserne på termerne startede med den største, nemlig 2, på det første udtryk, og talte ned derfra. Et andet ord for “potens” eller “eksponent” er “orden”. Når termerne er skrevet således, at potenserne på variablerne går fra den højeste til den laveste, kaldes det at være skrevet “i faldende orden”. Polynomier skrives normalt i aftagende rækkefølge, hvor det konstante term kommer i den bageste ende. (Bemærk: Nogle undervisere vil tælle et svar som forkert, hvis polynomiets termer er helt korrekte, men ikke er skrevet i faldende rækkefølge.)

Den første term i polynomiet, når dette polynomium er skrevet i faldende rækkefølge, er også den term med den største eksponent, og kaldes den “førende” term.

Hvis variablen i en term ganges med et tal, kaldes dette tal for termens “koefficient” (koh-ee-FISH-int), eller “numerisk koefficient”. Koefficienten for den ledende term (som er “4” i eksemplet ovenfor) er den “ledende koefficient”. Hvis der ikke er noget tal multipliceret på den variable del af et udtryk, er (i teknisk forstand) udtrykkets koefficient 1.

Eksponenten på den variable del af et udtryk fortæller dig udtrykkets “grad”. F.eks. er potensen på variablen x i den ledende term i ovenstående polynomium 2; det betyder, at den ledende term er en term af “anden grad”, eller “en term af grad to”. Den anden term er en term af “første grad”, eller “en term af grad 1”.

I ethvert polynomium fortæller graden af den ledende term graden af hele polynomiet, så ovenstående polynomium er et “andengradspolynomium”, eller et “polynomium af grad 2”.

• Angiv graden af polynomiet, og angiv værdierne af den ledende koefficient og den eventuelle konstante term i det følgende polynomium: 2×5 – 5×3 – 10x + 9

• Bestem polynomiets grad, og angiv værdierne af den ledende koefficient og den eventuelle konstante term i det følgende polynomium: 6×2 + 7×4 + x

Navne på polynomier

Derimod har de kortere polynomier deres egne navne, alt efter antallet af termer:

Jeg ved ikke, om der findes navne for polynomier med et større antal termer; jeg har aldrig hørt om andre navne end de tre, som jeg har nævnt.

Polynomier bliver også nogle gange navngivet efter deres grad:

Der findes navne for nogle af polynomierne med højere grader, men jeg har aldrig hørt om andre navne end dem, jeg har nævnt ovenfor.

I øvrigt ja, præfikset “quad” henviser normalt til “fire”, som når en atv omtales som en “quad bike”, eller en drone med fire propeller kaldes en “quad-copter”. For polynomier er “quad” i “kvadratisk” imidlertid afledt af det latinske ord for “gøre kvadrat”. Som i: Hvis man multiplicerer en længde med en bredde (f.eks. et rum) for at finde arealet, vil enhederne for arealet blive hævet til anden potens. For eksempel er arealet af et rum, der er 6 x 8 meter, 48 m2. Så “quad” for polynomier af anden grad henviser til de fire hjørner af et kvadrat, fra den geometriske oprindelse af parabler og tidlige polynomier.

Evaluering

“Evaluering” af et polynomium er det samme som at evaluere noget andet; det vil sige, at man tager den eller de værdier, man har fået, sætter dem ind for den eller de relevante variabler og simplificerer for at finde den resulterende værdi.

• Evaluer 2×3 – x2 – 4x + 2 ved x = -3

• Evaluer x5 + 4×4 – 9x + 7 ved x = -2

Når du evaluerer, skal du altid huske at være forsigtig med “minus”-tegnene!