Polynomials: Definitions & Evaluation

• Purplemath
• Mi a polinom?
• MathHelp.com
• Terminológia
• Adja meg a polinom fokát, és adja meg a következő polinom vezető együtthatójának és konstans tagjának értékét, ha van ilyen:
• Meghatározzuk a polinom fokát, és felsoroljuk a következő polinom vezető együtthatójának és állandó tagjának értékeit, ha van ilyen: 6×2 + 7×4 + x
• Polinomok neve
• Értékezés
• A 2×3 – x2 – 4x + 2 értékét x = -3-nál
• A x5 + 4×4 – 9x + 7 értékét x = -2-nél

Purplemath

Mostanra már tisztában kell lenned a változókkal és az exponensekkel, és talán már foglalkoztál olyan kifejezésekkel, mint a 3×4 vagy a 6x. A polinomok ilyen “változók és exponensek” kifejezések összegei. A polinom minden egyes darabját (vagyis minden egyes összeadandó részt) “tagnak” nevezzük.

Mi a polinom?

A polinomok polinomiális “tagok” összegei (és különbségei).

A tartalom alább folytatódik

MathHelp.com

Ahhoz, hogy egy kifejezés polinomiális kifejezés legyen, a kifejezésben szereplő változóknak egész számmal kell rendelkezniük (vagy pedig az 1 “értett” hatványával, mint az x1-ben, amit általában x-nek írunk). Egy egyszerű szám is lehet polinom kifejezés. Ahhoz, hogy egy kifejezés polinomiális kifejezés legyen, nem tartalmazhat változók négyzetgyökét, a változókon nem lehetnek tört vagy negatív hatványok, és nem lehetnek változók semmilyen tört nevezőjében. Íme néhány példa:

Terminológia

Egy polinom létrehozásához veszünk néhány tagot, és összeadjuk (és kivonjuk) őket. Íme egy tipikus polinom:

Figyeljük meg az exponenseket (vagyis a hatványokat) mindhárom tagon. Az első tagnak 2 az exponense; a második tagnak 1 a “megértett” exponense (amit általában nem szoktak beleszámítani); az utolsó tagnak pedig egyáltalán nincs változója, így az exponensek nem számítanak. Mivel ebben az utolsó tagban nincs változó, az értéke soha nem változik, ezért “konstans” tagnak nevezzük.”

(Megjegyzés: Ha nagyon technikaiak lennénk, azt mondhatnánk, hogy a konstans tag tartalmazza a változót, de a változó az “x0” alakban van. Mivel a változónak nulla hatványa van, mindig 1-re fog értékelődni, ezért figyelmen kívül hagyjuk, mert nem változtat semmin: 7×0 = 7(1) = 7.)

Megjegyezzük azt is, hogy a tagokon lévő hatványok a legnagyobbal, azaz a 2-vel kezdődtek az első tagon, és onnan számoltunk lefelé. A “hatalom” vagy “exponens” másik szava a “sorrend”. Ha a kifejezéseket úgy írjuk, hogy a változókon lévő hatványok a legnagyobbtól a legkisebbig haladnak, akkor ezt “csökkenő sorrendben” írjuk. A polinomokat általában csökkenő sorrendben írják, és a konstans tag a végére kerül. (Megjegyzés: Néhány oktató hibásnak fogja számolni a választ, ha a polinom termei teljesen helyesek, de nem csökkenő sorrendben vannak leírva.)

A polinom első tagja, ha a polinomot csökkenő sorrendben írjuk, egyben a legnagyobb exponenssel rendelkező tag is, és ezt nevezzük “vezető” tagnak.

Ha egy tagban a változót megszorozzuk egy számmal, akkor ezt a számot a tag “együtthatójának” (koh-ee-FISH-int) vagy “numerikus együtthatójának” nevezzük. A vezető kifejezés együtthatója (a fenti példában a “4”) a “vezető együttható”. Ha egy kifejezés változó részén nincs számmal megszorozva, akkor (technikai értelemben) a kifejezés együtthatója 1.

A kifejezés változó részén lévő exponens megadja a kifejezés “fokát”. Például a fenti polinomban a vezető tag x változójának hatványa 2; ez azt jelenti, hogy a vezető tag “másodfokú” tag, vagyis “kettes fokú tag”. A második tag “elsőfokú” tag, vagyis “egyfokú tag”.

Minden polinomban a vezető tag foka megadja az egész polinom fokát, tehát a fenti polinom “másodfokú polinom”, vagyis “kétfokú polinom”.

• Adja meg a polinom fokát, és adja meg a következő polinom vezető együtthatójának és konstans tagjának értékét, ha van ilyen:

• Meghatározzuk a polinom fokát, és felsoroljuk a következő polinom vezető együtthatójának és állandó tagjának értékeit, ha van ilyen: 6×2 + 7×4 + x

Polinomok neve

A rövidebb polinomoknak azonban saját nevük van, a tagok száma szerint:

Nem tudom, hogy vannak-e nevek a nagyobb tagszámú polinomoknak; az általam felsorolt három neven kívül még nem hallottam másról.

A polinomokat néha a fokukról is elnevezik:

A magasabb fokú polinomok némelyikének is vannak nevei, de még nem hallottam, hogy a fent felsoroltakon kívül más neveket is használtak volna.

Apropó, igen, a “quad” előtag általában a “négyet” jelenti, például amikor egy atv-t “quad bike”-nak neveznek, vagy egy négy propellerrel rendelkező drónt “quad-copter”-nek. A polinomok esetében azonban a “quad” a “quadratic”-ban a latin “négyzetet alkot” szóból származik. Ha megszorozzuk a hosszúságot a szélességgel (mondjuk egy szoba), hogy megtaláljuk a területet, akkor a terület egységeit a második hatványra emeljük. Például egy 6 méterszer 8 méteres szoba területe 48 m2. Tehát a “quad” a másodfokú polinomok esetében a négyzet négy sarkára utal, a parabolák és a korai polinomok geometriai eredetéből.

Értékezés

Egy polinom “kiértékelése” ugyanaz, mint bármi más kiértékelése; vagyis fogod a megadott érték(ek)et, bedugod őket a megfelelő változó(k)hoz, és egyszerűsítve megtalálod a kapott értéket.

• A 2×3 – x2 – 4x + 2 értékét x = -3-nál

• A x5 + 4×4 – 9x + 7 értékét x = -2-nél

A kiértékelésnél mindig ügyeljünk a “mínusz” jelekre!