Polinomi: Definizioni & Valutazione

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• Terminologia
• Dare il grado del polinomio, e dare i valori del coefficiente principale e del termine costante, se presente, del seguente polinomio: 2×5 – 5×3 – 10x + 9
• Determinare il grado del polinomio ed elencare i valori del coefficiente iniziale e dell’eventuale termine costante del seguente polinomio: 6×2 + 7×4 + x
• Nomi dei polinomi
• Valutazione
• Valutiamo 2×3 – x2 – 4x + 2 a x = -3
• Valutiamo x5 + 4×4 – 9x + 7 a x = -2

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A questo punto, dovresti avere familiarità con variabili ed esponenti, e potresti aver avuto a che fare con espressioni come 3×4 o 6x. I polinomi sono somme di queste espressioni “variabili ed esponenti”. Ogni pezzo del polinomio (cioè, ogni parte che viene aggiunta) è chiamato “termine”.

Cos’è un polinomio?

I polinomi sono somme (e differenze) di “termini” polinomiali.

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Perché un’espressione sia un termine polinomiale, qualsiasi variabile nell’espressione deve avere potenze di numeri interi (oppure la potenza “intesa” di 1, come in x1, che normalmente si scrive come x). Anche un numero semplice può essere un termine polinomiale. In particolare, perché un’espressione sia un termine polinomiale, non deve contenere radici quadrate di variabili, né potenze frazionarie o negative sulle variabili, né variabili nei denominatori di qualsiasi frazione. Ecco alcuni esempi:

Terminologia

Per creare un polinomio, si prendono alcuni termini e li si aggiunge (e sottrae) insieme. Ecco un tipico polinomio:

Nota gli esponenti (cioè le potenze) su ciascuno dei tre termini. Il primo termine ha un esponente di 2; il secondo termine ha un esponente “compreso” di 1 (che normalmente non viene incluso); e l’ultimo termine non ha alcuna variabile, quindi gli esponenti non sono un problema. Poiché non c’è alcuna variabile in quest’ultimo termine, il suo valore non cambia mai, quindi è chiamato il termine “costante”.

(Nota: Se uno volesse essere molto tecnico, si potrebbe dire che il termine costante include la variabile, ma che la variabile è nella forma “x0”. La variabile avendo una potenza di zero, valuterà sempre 1, quindi viene ignorata perché non cambia nulla: 7×0 = 7(1) = 7.)

Nota anche che le potenze dei termini hanno iniziato con la più grande, essendo il 2, sul primo termine, e hanno contato in giù da lì. Un’altra parola per “potenza” o “esponente” è “ordine”. Quando i termini sono scritti in modo che le potenze sulle variabili vanno dal più alto al più basso, questo si chiama essere scritto “in ordine decrescente”. I polinomi sono di solito scritti in ordine decrescente, con il termine costante che arriva alla fine. (Nota: Alcuni istruttori daranno una risposta sbagliata se i termini del polinomio sono completamente corretti ma non sono scritti in ordine decrescente.)

Il primo termine del polinomio, quando quel polinomio è scritto in ordine decrescente, è anche il termine con l’esponente più grande, ed è chiamato il termine “principale”.

Se la variabile in un termine è moltiplicata per un numero, allora questo numero è chiamato “coefficiente” (koh-ee-FISH-int), o “coefficiente numerico”, del termine. Il coefficiente del termine principale (che è il “4” nell’esempio precedente) è il “coefficiente principale”. Se non c’è nessun numero moltiplicato sulla parte variabile di un termine, allora (in senso tecnico) il coefficiente di quel termine è 1.

L’esponente sulla parte variabile di un termine ti dice il “grado” di quel termine. Per esempio, la potenza sulla variabile x nel termine principale del polinomio di cui sopra è 2; questo significa che il termine principale è un termine di “secondo grado”, o “un termine di grado due”. Il secondo termine è un termine di “primo grado”, o “un termine di grado uno”.

In qualsiasi polinomio, il grado del termine principale ti dice il grado dell’intero polinomio, quindi il polinomio sopra è un “polinomio di secondo grado”, o un “polinomio di grado due”.

• Dare il grado del polinomio, e dare i valori del coefficiente principale e del termine costante, se presente, del seguente polinomio: 2×5 – 5×3 – 10x + 9

• Determinare il grado del polinomio ed elencare i valori del coefficiente iniziale e dell’eventuale termine costante del seguente polinomio: 6×2 + 7×4 + x

Nomi dei polinomi

Tuttavia, i polinomi più brevi hanno i loro nomi, secondo il loro numero di termini:

Non so se ci sono nomi per polinomi con un numero maggiore di termini; non ho mai sentito di altri nomi oltre ai tre che ho elencato.

I polinomi sono anche a volte nominati per il loro grado:

Ci sono nomi per alcuni dei polinomi di grado superiore, ma non ho mai sentito usare nomi diversi da quelli che ho elencato sopra.

A proposito, sì, il prefisso “quad” di solito si riferisce a “quattro”, come quando un atv viene chiamato “quad bike”, o un drone con quattro eliche viene chiamato “quad-copter”. Per i polinomi, tuttavia, il “quad” in “quadratico” deriva dal latino per “fare quadrato”. Come in, se si moltiplica una lunghezza per una larghezza (di, diciamo, una stanza) per trovare l’area, le unità dell’area saranno elevate alla seconda potenza. Per esempio, l’area di una stanza di 6 metri per 8 metri è di 48 m2. Quindi il “quad” per i polinomi di grado due si riferisce ai quattro angoli di un quadrato, dalle origini geometriche delle parabole e dei primi polinomi.

Valutazione

“Valutare” un polinomio è lo stesso che valutare qualsiasi altra cosa; cioè, si prendono i valori che sono stati dati, si inseriscono le variabili appropriate e si semplifica per trovare il valore risultante.

• Valutiamo 2×3 – x2 – 4x + 2 a x = -3

• Valutiamo x5 + 4×4 – 9x + 7 a x = -2

Quando si valuta, ricordare sempre di stare attenti ai segni “meno”!