Warum über Fraktale lernen?
Fraktale sind überall! Wenn Sie mir nicht glauben, schauen Sie doch einfach mal aus Ihrem Fenster. Von den Formen der Bäume und Sträucher über die gezackten Profile der Berge bis hin zu den unregelmäßigen Küstenlinien – viele Merkmale unserer natürlichen Welt scheinen durch fraktale Geometrie modelliert zu sein.
Aber was genau ist ein Fraktal? Wie Sie in diesem Modul lernen werden, ist ein Fraktal ein Objekt, das auf jeder Ebene Selbstähnlichkeit aufweist. Das heißt, wenn man einen Ausschnitt heranzoomt, ähnelt er dem gesamten Bild. Diese Selbstähnlichkeit muss nicht exakt sein; tatsächlich weisen viele Fraktale eine gewisse Variation oder Zufälligkeit auf. Das folgende Video zeigt, wie die Mandelbrot-Menge, ein bekanntes Fraktal, Selbstähnlichkeit zeigt.
Während einige Fraktale (wie die Mandelbrot-Menge) als Kunstwerke durchgehen könnten, liegt die wahre Schönheit der Fraktale darin, dass solch komplizierte Designs und Muster aus sehr elementaren Formeln oder Regeln entstehen können.
In diesem Modul werden Sie lernen, wie man fraktale Muster wie die Mandelbrot-Menge mit einer einfachen Formel wie der folgenden erzeugen kann:
z_{n+1} = z_n^2 + c
Natürlich gibt es viele Details, die noch erklärt werden müssen, wie zum Beispiel die Beziehung zwischen Fraktalen und komplexen Zahlen. Die Werte von c, z_n und z_{n+1} in der obigen Formel sollen komplexe Zahlen sein, d.h. Zahlen, die die imaginäre Einheit i = \sqrt{-1} enthalten.
Die imaginäre Zahl i ist etwas völlig anderes als jede Zahl, die Sie jemals gesehen haben. Tatsächlich taucht i überhaupt nicht auf der Zahlenreihe auf! Stattdessen lebt die imaginäre Einheit, wie du bald entdecken wirst, auf einer eigenen Zahlengeraden, der sogenannten imaginären Achse, die senkrecht zur gewöhnlichen Zahlengeraden (oder realen Achse) steht.
Die Mandelbrot-Menge selbst besteht aus den komplexen Zahlen, die eine bestimmte Regel in Bezug auf eine einfache Gleichung erfüllen. Das daraus resultierende Bild ist erstaunlich und wird immer faszinierender, je näher man heranzoomt.
Eine Mandelbrot-Menge in der komplexen Ebene.