Pourquoi apprendre les fractales ?
Les fractales sont partout ! Si vous ne me croyez pas, jetez simplement un coup d’œil à l’extérieur de votre fenêtre. Des formes des arbres et des buissons aux profils dentelés des montagnes en passant par les côtes irrégulières, de nombreuses caractéristiques de notre monde naturel semblent être modélisées par la géométrie fractale.
Mais qu’est-ce qu’une fractale exactement ? Comme vous l’apprendrez dans ce module, une fractale est un objet qui présente une autosimilarité à tous les niveaux. C’est-à-dire que lorsque vous faites un zoom sur une section, elle ressemble à l’image entière. Cette autosimilarité ne doit pas nécessairement être exacte ; en fait, de nombreuses fractales présentent une certaine variation ou un caractère aléatoire. Vous trouverez ci-dessous une vidéo illustrant comment l’ensemble de Mandelbrot, une fractale bien connue, présente une autosimilarité.
Bien que certaines fractales (comme l’ensemble de Mandelbrot) pourraient passer pour des œuvres d’art, la véritable beauté des fractales réside dans la façon dont des dessins et des motifs aussi complexes peuvent résulter de formules ou de règles de génération très élémentaires.
Dans ce module, vous apprendrez à créer des motifs fractals tels que l’ensemble de Mandelbrot en utilisant une formule simple telle que :
z_{n+1} = z_n^2 + c
Bien sûr, de nombreux détails doivent encore être expliqués, comme la relation entre les fractales et les nombres complexes. Les valeurs de c, z_n et z_{n+1} dans la formule ci-dessus sont censées être des nombres complexes, c’est-à-dire des nombres qui incluent l’unité imaginaire, i = \sqrt{-1}.
Le nombre imaginaire i est quelque chose de complètement différent de tous les nombres que vous avez déjà vus. En fait, i n’apparaît pas du tout sur la ligne des nombres ! Au lieu de cela, comme vous le découvrirez bientôt, l’unité imaginaire vit sur sa propre ligne numérique distincte, appelée axe imaginaire, qui est perpendiculaire à la ligne numérique habituelle (ou axe réel).
L’ensemble de Mandelbrot lui-même est constitué des nombres complexes qui satisfont à une certaine règle liée à une équation simple. L’image résultante est étonnante, et ne fait que devenir de plus en plus fascinante au fur et à mesure que vous zoomez !
Un ensemble de Mandelbrot dans le plan complexe.