A csoportelmélet számos alkalmazása. Az absztrakt algebra szinte minden struktúrája a csoportok speciális esete. A gyűrűket például úgy tekinthetjük, mint abéliumi csoportokat (ami az összeadásnak felel meg) egy második művelettel együtt (ami a szorzásnak felel meg). Ezért csoportelméleti érvek állnak ezen entitások elméletének nagy részei mögött.
Galois-elméletSzerkesztés
A Galois-elmélet csoportok segítségével írja le egy polinom gyökeinek szimmetriáit (pontosabban az e gyökök által generált algebrák automorfizmusait). A Galois-elmélet alaptétele kapcsolatot teremt az algebrai mezőbővítések és a csoportelmélet között. Hatékony kritériumot ad a polinomegyenletek megoldhatóságára a megfelelő Galois-csoport megoldhatósága szempontjából. Például az S5, az 5 elemű szimmetrikus csoport nem megoldható, ami azt jelenti, hogy az általános kvintikus egyenlet nem oldható meg gyökökkel úgy, ahogyan az alacsonyabb fokú egyenletek megoldhatók. Az elméletet, mint a csoportelmélet egyik történelmi gyökerét, ma is gyümölcsözően alkalmazzák, hogy új eredményeket hozzon olyan területeken, mint például az osztálytérelmélet.
Algebrai topológiaSzerkesztés
Az algebrai topológia egy másik olyan terület, amely kiemelkedő módon csoportokat társít az elmélet által vizsgált objektumokhoz. Ott a csoportokat a topológiai terek bizonyos invariánsainak leírására használják. Ezeket azért nevezik “invariánsoknak”, mert úgy vannak definiálva, hogy nem változnak meg, ha a teret valamilyen deformációnak vetjük alá. Például a fundamentális csoport “megszámolja”, hogy a tér hány útja különbözik lényegében egymástól. A Poincaré-féle sejtés, amelyet Grigori Perelman 2002/2003-ban bizonyított, ennek az elképzelésnek egy kiemelkedő alkalmazása. A hatás azonban nem egyirányú. Az algebrai topológia például használja az Eilenberg-MacLane tereket, amelyek előírt homotópiacsoportokkal rendelkező terek. Hasonlóképpen az algebrai K-elmélet is bizonyos értelemben a csoportok osztályozó tereire támaszkodik. Végül egy végtelen csoport torziós alcsoportjának neve mutatja a topológia örökségét a csoportelméletben.
Algebrai geometriaSzerkesztés
Az algebrai geometria szintén sokféleképpen használja a csoportelméletet. Az abéliumi fajtákat fentebb már bemutattuk. A csoportművelet jelenléte további információt ad, ami különösen hozzáférhetővé teszi ezeket a fajtákat. Gyakran szolgálnak új feltevések tesztelésére is. Az egydimenziós esetet, nevezetesen az elliptikus görbéket különösen részletesen tanulmányozzuk. Ezek elméleti és gyakorlati szempontból egyaránt izgalmasak. Egy másik irányban a tórikus fajták olyan algebrai fajták, amelyekre egy tórusz hat. A toroidális beágyazások a közelmúltban az algebrai geometria fejlődéséhez, különösen a szingularitások feloldásához vezettek.
Algebrai számelméletSzerkesztés
Az algebrai számelmélet néhány fontos alkalmazásban csoportokat használ fel. Például Euler termékképlete,
∑ n ≥ 1 1 n s = ∏ p prím 1 1 – p – s , {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{s}}}}&=\prod _{p{\text{ prím}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}},\\\\\end{aligned}}\!}
megragadja azt a tényt, hogy bármely egész szám egyedi módon bomlik prímszámokra. Ennek az állításnak az általánosabb gyűrűkre való meghiúsulása adja az osztálycsoportokat és a szabályos prímeket, amelyek Kummer Fermat utolsó tételének feldolgozásában szerepelnek.
Harmonikus analízisSzerkesztés
A Lie-csoportok és bizonyos más csoportok analízisét harmonikus analízisnek nevezzük. A Haar-mértékeket, vagyis a Lie-csoporton belüli transzláció alatt invariáns integrálokat a mintafelismerésben és más képfeldolgozási technikákban használják.
KombinatorikaSzerkesztés
A kombinatorikában a permutációs csoport fogalmát és a csoporthatás fogalmát gyakran használják egy objektumhalmaz megszámlálásának egyszerűsítésére; lásd különösen Burnside lemma.
MusicEdit
A 12-es periódus jelenléte az kvintkörben az elemi csoportelmélet alkalmazását eredményezi a zenei halmazelméletben. A transzformációelmélet a zenei transzformációkat egy matematikai csoport elemeiként modellezi.
FizikaSzerkesztés
A fizikában a csoportok azért fontosak, mert leírják azokat a szimmetriákat, amelyeknek a fizika törvényei látszólag engedelmeskednek. Noether tétele szerint egy fizikai rendszer minden folytonos szimmetriája megfelel a rendszer egy megőrzési törvényének. A fizikusokat nagyon érdeklik a csoportreprezentációk, különösen a Lie-csoportok, mivel ezek a reprezentációk gyakran mutatnak utat a “lehetséges” fizikai elméletek felé. A csoportok fizikai felhasználására példa a Standard Modell, a gauge-elmélet, a Lorentz-csoport és a Poincaré-csoport.
Kémia és anyagtudománySzerkesztés
A kémiában és az anyagtudományban a pontcsoportokat a szabályos poliéderek és a molekulák szimmetriáinak, a tércsoportokat pedig a kristályszerkezetek osztályozására használják. A hozzárendelt csoportok ezután felhasználhatók fizikai tulajdonságok (például kémiai polaritás és kiralitás), spektroszkópiai tulajdonságok (különösen hasznosak a Raman-spektroszkópia, infravörös spektroszkópia, cirkuláris dikroizmus spektroszkópia, mágneses cirkuláris dikroizmus spektroszkópia, UV/Vis spektroszkópia és fluoreszcencia spektroszkópia esetében), valamint molekuláris orbitálisok konstruálására.
A molekulaszimmetria felelős a vegyületek számos fizikai és spektroszkópiai tulajdonságáért, és lényeges információt nyújt a kémiai reakciók lefolyásáról. Ahhoz, hogy egy adott molekulához pontcsoportot rendelhessünk, meg kell találni a molekulán jelenlévő szimmetriaműveletek halmazát. A szimmetriaművelet egy művelet, például egy tengely körüli forgás vagy egy tükörsíkon keresztül történő tükrözés. Más szóval olyan művelet, amely úgy mozgatja a molekulát, hogy az megkülönböztethetetlen legyen az eredeti konfigurációtól. A csoportelméletben a forgástengelyeket és a tükörsíkokat “szimmetriaelemeknek” nevezik. Ezek az elemek lehetnek pontok, egyenesek vagy síkok, amelyekhez képest a szimmetriaműveletet végrehajtják. Egy molekula szimmetriaműveletei határozzák meg az adott molekula sajátos pontcsoportját.
A kémiában öt fontos szimmetriaművelet létezik. Ezek az azonossági művelet (E), a forgatási művelet vagy helyes forgatás (Cn), a tükrözési művelet (σ), az inverzió (i) és a forgási tükrözési művelet vagy helytelen forgatás (Sn). Az azonossági művelet (E) abból áll, hogy a molekulát úgy hagyjuk, ahogy van. Ez tetszőleges számú teljes elforgatással egyenértékű bármely tengely körül. Ez minden molekula szimmetriája, míg egy királis molekula szimmetriacsoportja csak az azonossági műveletből áll. Az azonossági művelet minden molekulára jellemző, még akkor is, ha nincs szimmetriája. A tengely körüli forgatás (Cn) abból áll, hogy a molekulát egy adott tengely körül egy adott szöggel elforgatjuk. Ez 360°/n szöggel történő forgatás, ahol n egy egész szám, egy forgástengely körül. Például, ha egy vízmolekula 180°-kal elfordul az oxigénatomon és a hidrogénatomok között áthaladó tengely körül, akkor ugyanabban a konfigurációban van, mint amilyenben elindult. Ebben az esetben n = 2, mivel kétszeri alkalmazása az azonossági műveletet eredményezi. Az egynél több forgástengellyel rendelkező molekulákban a legnagyobb n értékkel rendelkező Cn tengely a legmagasabb rendű forgástengely vagy főtengely. Például a borán (BH3) legnagyobb rendű forgástengelye a C3, tehát a tengely fő forgástengelye a C3.
A tükrözési műveletben (σ) sok molekulának vannak tükörsíkjai, bár ezek nem feltétlenül nyilvánvalóak. A tükrözési művelet balra és jobbra cserélődik, mintha minden egyes pont a síkra merőlegesen áthaladt volna a síktól pontosan olyan távolságra, mint amikor elindult. Ha a sík merőleges a főforgástengelyre, akkor σh-nak (vízszintesnek) nevezzük. Más síkokat, amelyek tartalmazzák a forgás főtengelyét, függőlegesnek (σv) vagy kétoldalúnak (σd) nevezzük.
Az inverzió (i ) egy bonyolultabb művelet. Minden egyes pont a molekula középpontján keresztül az eredeti helyzettel ellentétes pozícióba kerül, és olyan messze a középponttól, mint ahonnan indult. Sok molekula, amelyről első pillantásra úgy tűnik, hogy inverziós középponttal rendelkezik, nem rendelkezik; például a metán és más tetraéderes molekulák nem rendelkeznek inverziós szimmetriával. Hogy ezt lássuk, tartsunk egy metánmodellt, amelynek jobb oldali függőleges síkjában két hidrogénatom van, bal oldali vízszintes síkjában pedig két hidrogénatom. Az inverzió azt eredményezi, hogy a jobb oldali vízszintes síkban két hidrogénatom van, a bal oldali függőleges síkban pedig két hidrogénatom. Az inverzió tehát nem a metán szimmetriaművelete, mert a molekula orientációja az inverziós műveletet követően eltér az eredeti orientációtól. Az utolsó művelet pedig a helytelen forgatás vagy forgatás-tükrözés művelet (Sn) 360°/n elforgatást igényel, amelyet a forgástengelyre merőleges síkban történő tükrözés követ.
Statisztikai mechanikaSzerkesztés
A csoportelmélet felhasználható a Willard Gibbs által kidolgozott mechanika statisztikai értelmezésének a végtelen számú valószínűségek összegzésével kapcsolatos, értelmes megoldást eredményező tökéletlenségének feloldására.
KriptográfiaSzerkesztés
A nyilvános kulcsú kriptográfiához az elliptikus görbe kriptográfiában konstruált nagyon nagy prímrendű csoportok szolgálnak. Az ilyen jellegű kriptográfiai módszereknek előnyére válik a geometriai objektumok, így a csoportstruktúrák rugalmassága, valamint e csoportok bonyolult szerkezete, ami miatt a diszkrét logaritmus nagyon nehezen kiszámítható. Az egyik legkorábbi titkosítási protokoll, a Caesar-féle rejtjelezés is értelmezhető (nagyon egyszerű) csoportműveletként. A legtöbb kriptográfiai séma valamilyen módon csoportokat használ. Különösen a Diffie-Hellman kulcscsere használ véges ciklikus csoportokat. A csoportalapú kriptográfia kifejezés tehát többnyire olyan kriptográfiai protokollokra utal, amelyek végtelen nemábeli csoportokat, például fonalas csoportot használnak.
