Le applicazioni della teoria dei gruppi abbondano. Quasi tutte le strutture dell’algebra astratta sono casi speciali di gruppi. Gli anelli, per esempio, possono essere visti come gruppi abeliani (corrispondenti all’addizione) insieme a una seconda operazione (corrispondente alla moltiplicazione). Pertanto, gli argomenti teorici dei gruppi sono alla base di gran parte della teoria di queste entità.
Teoria di GaloisModifica
La teoria di Galois usa i gruppi per descrivere le simmetrie delle radici di un polinomio (o più precisamente gli automorfismi delle algebre generate da queste radici). Il teorema fondamentale della teoria di Galois fornisce un collegamento tra le estensioni dei campi algebrici e la teoria dei gruppi. Fornisce un criterio efficace per la solvibilità delle equazioni polinomiali in termini di solvibilità del gruppo di Galois corrispondente. Per esempio, S5, il gruppo simmetrico in 5 elementi, non è risolvibile, il che implica che l’equazione quintica generale non può essere risolta dai radicali come le equazioni di grado inferiore. La teoria, essendo una delle radici storiche della teoria dei gruppi, è ancora applicata fruttuosamente per produrre nuovi risultati in aree come la teoria dei campi di classe.
Topologia algebricaModifica
La topologia algebrica è un altro campo che associa in modo prominente i gruppi agli oggetti a cui la teoria è interessata. Lì, i gruppi sono usati per descrivere certi invarianti degli spazi topologici. Si chiamano “invarianti” perché sono definiti in modo tale da non cambiare se lo spazio è sottoposto a qualche deformazione. Per esempio, il gruppo fondamentale “conta” quanti percorsi nello spazio sono essenzialmente diversi. La congettura di Poincaré, dimostrata nel 2002/2003 da Grigori Perelman, è un’applicazione importante di questa idea. L’influenza non è però unidirezionale. Per esempio, la topologia algebrica fa uso degli spazi di Eilenberg-MacLane che sono spazi con gruppi di omotopia prescritti. Allo stesso modo la K-teoria algebrica si basa in un certo senso sulla classificazione di spazi di gruppi. Infine, il nome del sottogruppo di torsione di un gruppo infinito mostra l’eredità della topologia nella teoria dei gruppi.
Geometria algebricaModifica
La geometria algebrica usa anche la teoria dei gruppi in molti modi. Le varietà abeliane sono state introdotte sopra. La presenza dell’operazione di gruppo fornisce informazioni aggiuntive che rendono queste varietà particolarmente accessibili. Spesso servono anche come test per nuove congetture. Il caso unidimensionale, cioè le curve ellittiche, è studiato in particolare dettaglio. Sono sia teoricamente che praticamente intriganti. In un’altra direzione, le varietà toriche sono varietà algebriche agite da un toro. Le incorporazioni toroidali hanno recentemente portato a progressi nella geometria algebrica, in particolare nella risoluzione delle singolarità.
Teoria dei numeri algebriciModifica
La teoria dei numeri algebrici fa uso di gruppi per alcune importanti applicazioni. Per esempio, la formula del prodotto di Eulero,
∑ n ≥ 1 1 n s = ∏ p primo 1 1 – p – s , {\displaystyle {begin{aligned}}sum _{n\geq 1}{frac {1}{n^{s}}&=\prod _{p{\text{ prime}}{{frac {1}{1-p^{-s}}},\end{aligned}}!}
cattura il fatto che qualsiasi intero si decompone in modo unico in numeri primi. Il fallimento di questa affermazione per anelli più generali dà origine ai gruppi di classi e ai numeri primi regolari, che sono presenti nel trattamento di Kummer dell’ultimo teorema di Fermat.
Analisi armonicaModifica
L’analisi sui gruppi di Lie e su certi altri gruppi è chiamata analisi armonica. Le misure di Haar, cioè gli integrali invarianti sotto la traslazione in un gruppo di Lie, sono usate per il riconoscimento dei modelli e altre tecniche di elaborazione delle immagini.
CombinatoriaModifica
In combinatoria, la nozione di gruppo di permutazione e il concetto di azione di gruppo sono spesso usati per semplificare il conteggio di un insieme di oggetti; vedi in particolare il lemma di Burnside.
MusicEdit
La presenza della periodicità 12 nel cerchio di quinte produce applicazioni della teoria elementare dei gruppi nella teoria degli insiemi musicali. La teoria delle trasformazioni modella le trasformazioni musicali come elementi di un gruppo matematico.
FisicaEdit
In fisica, i gruppi sono importanti perché descrivono le simmetrie a cui le leggi della fisica sembrano obbedire. Secondo il teorema di Noether, ogni simmetria continua di un sistema fisico corrisponde a una legge di conservazione del sistema. I fisici sono molto interessati alle rappresentazioni dei gruppi, specialmente dei gruppi di Lie, poiché queste rappresentazioni spesso indicano la strada alle teorie fisiche “possibili”. Esempi dell’uso dei gruppi in fisica includono il Modello Standard, la teoria di gauge, il gruppo di Lorentz e il gruppo di Poincaré.
Chimica e scienza dei materialiModifica
In chimica e scienza dei materiali, i gruppi di punti sono usati per classificare i poliedri regolari e le simmetrie delle molecole, e i gruppi spaziali per classificare le strutture cristalline. I gruppi assegnati possono poi essere usati per determinare le proprietà fisiche (come la polarità chimica e la chiralità), le proprietà spettroscopiche (particolarmente utili per la spettroscopia Raman, la spettroscopia infrarossa, la spettroscopia di dicroismo circolare, la spettroscopia di dicroismo circolare magnetico, la spettroscopia UV/Vis e la spettroscopia di fluorescenza), e per costruire gli orbitali molecolari.
La simmetria molecolare è responsabile di molte proprietà fisiche e spettroscopiche dei composti e fornisce informazioni rilevanti su come avvengono le reazioni chimiche. Al fine di assegnare un gruppo di punti per qualsiasi molecola data, è necessario trovare l’insieme delle operazioni di simmetria presenti su di essa. L’operazione di simmetria è un’azione, come una rotazione intorno a un asse o una riflessione attraverso un piano a specchio. In altre parole, è un’operazione che sposta la molecola in modo da renderla indistinguibile dalla configurazione originale. Nella teoria dei gruppi, gli assi di rotazione e i piani speculari sono chiamati “elementi di simmetria”. Questi elementi possono essere un punto, una linea o un piano rispetto al quale si effettua l’operazione di simmetria. Le operazioni di simmetria di una molecola determinano il gruppo di punti specifico per questa molecola.
In chimica, ci sono cinque importanti operazioni di simmetria. Sono l’operazione di identità (E), l’operazione di rotazione o rotazione propria (Cn), l’operazione di riflessione (σ), l’inversione (i) e l’operazione di riflessione di rotazione o rotazione impropria (Sn). L’operazione di identità (E) consiste nel lasciare la molecola così com’è. Questo è equivalente a qualsiasi numero di rotazioni complete intorno a qualsiasi asse. Questa è una simmetria di tutte le molecole, mentre il gruppo di simmetria di una molecola chirale consiste solo nell’operazione di identità. Un’operazione di identità è una caratteristica di ogni molecola anche se non ha simmetria. La rotazione intorno a un asse (Cn) consiste nel ruotare la molecola intorno a un asse specifico di un angolo specifico. È la rotazione attraverso l’angolo 360°/n, dove n è un intero, intorno a un asse di rotazione. Per esempio, se una molecola d’acqua ruota di 180° intorno all’asse che passa per l’atomo di ossigeno e tra gli atomi di idrogeno, si trova nella stessa configurazione di partenza. In questo caso, n = 2, poiché applicandolo due volte si ottiene l’operazione di identità. Nelle molecole con più di un asse di rotazione, l’asse Cn che ha il valore più grande di n è l’asse di rotazione di ordine superiore o asse principale. Per esempio Borane (BH3), il più alto ordine dell’asse di rotazione è C3, quindi l’asse principale di rotazione dell’asse è C3.
Nell’operazione di riflessione (σ) molte molecole hanno piani speculari, sebbene possano non essere evidenti. L’operazione di riflessione scambia a sinistra e a destra, come se ogni punto si fosse spostato perpendicolarmente attraverso il piano in una posizione esattamente lontana dal piano come quando ha iniziato. Quando il piano è perpendicolare all’asse principale di rotazione, è chiamato σh (orizzontale). Altri piani, che contengono l’asse principale di rotazione, sono etichettati come verticali (σv) o diedri (σd).
L’inversione (i ) è un’operazione più complessa. Ogni punto si sposta attraverso il centro della molecola in una posizione opposta a quella originale e lontana dal punto centrale come quella di partenza. Molte molecole che a prima vista sembrano avere un centro di inversione non ce l’hanno; per esempio, il metano e altre molecole tetraedriche mancano di simmetria di inversione. Per vedere questo, tieni un modello di metano con due atomi di idrogeno nel piano verticale a destra e due atomi di idrogeno nel piano orizzontale a sinistra. L’inversione risulta in due atomi di idrogeno nel piano orizzontale a destra e due atomi di idrogeno nel piano verticale a sinistra. L’inversione non è quindi un’operazione di simmetria del metano, perché l’orientamento della molecola dopo l’operazione di inversione differisce dall’orientamento originale. E l’ultima operazione è la rotazione impropria o operazione di riflessione della rotazione (Sn) richiede una rotazione di 360°/n, seguita dalla riflessione attraverso un piano perpendicolare all’asse di rotazione.
Meccanica statisticaModifica
La teoria dei gruppi può essere usata per risolvere l’incompletezza delle interpretazioni statistiche della meccanica sviluppate da Willard Gibbs, relative alla somma di un numero infinito di probabilità per produrre una soluzione significativa.
CrittografiaModifica
Gruppi molto grandi di ordine primo costruiti nella crittografia a curve ellittiche servono per la crittografia a chiave pubblica. I metodi crittografici di questo tipo beneficiano della flessibilità degli oggetti geometrici, quindi delle loro strutture di gruppo, insieme alla complicata struttura di questi gruppi, che rendono il logaritmo discreto molto difficile da calcolare. Uno dei primi protocolli di crittografia, il cifrario di Cesare, può anche essere interpretato come un’operazione di gruppo (molto facile). La maggior parte degli schemi crittografici usa i gruppi in qualche modo. In particolare lo scambio di chiavi Diffie-Hellman usa gruppi ciclici finiti. Quindi il termine crittografia basata su gruppi si riferisce per lo più a protocolli crittografici che usano gruppi infiniti non abeliani come un gruppo braidico.
