群論の応用は豊富である。 抽象代数におけるほとんどすべての構造は群の特殊な場合である。 例えば、環はエーベル群（加算に相当）と第二演算（乗算に相当）とを併せたものと見ることができる。 したがって、これらの実体の理論の大部分は群論的な議論によって支えられている。 ガロア理論
ガロア理論は、多項式の根の対称性（より正確には、これらの根によって生成される代数の自動多型）を記述するために群を使用します。 ガロア理論の基本定理は、代数的な場の拡張と群論との間のリンクを提供するものである。 この定理は、多項式方程式の可解性を、対応するガロア群の可解性という観点から有効な基準を与えるもので、この定理は、多項式方程式の可解性を、対応するガロア群の可解性という観点から有効な基準を与えるものである。 例えば、5つの要素からなる対称群S5は解けないが、これは一般的な五行方程式が低次の方程式が解けるようにラジカルで解けないことを意味する。
Algebraic topology 編集
Algebraic topologyは、理論が関心を持つ対象に群を顕著に関連付けるもう一つの領域である。 そこでは、トポロジカル空間のある種の不変量を記述するために群が使用される。 不変量とは、空間が変形されても変化しないように定義されたもので、「不変量」と呼ばれます。 例えば、基本群では、空間内のいくつの経路が本質的に異なるかを「数える」ことができる。 2002/2003年にグリゴリ・ペレルマンが証明した「ポアンカレ予想」は、このアイデアの顕著な応用例である。 しかし、その影響は一方向的なものではありません。 例えば、代数的位相幾何学では、Eilenberg-MacLane空間という、所定のホモトピー群を持つ空間が利用される。 同様に，代数的K理論も，ある意味で群の空間分類に依存している。 5674>
Algebraic geometryEdit
Algebraic geometry も同様に群論を多用する。 Abelian varieties は上で紹介しました。 群演算の存在は、これらの多様体を特に利用しやすくする追加情報をもたらします。 また、新しい予想の検証にもよく使われます。 一次元の楕円曲線は特に詳しく研究されている。 これらは理論的にも実践的にも興味深いものである。 また、トーラス多様体とは、トーラスが作用する代数多様体である。 5674>
代数的整数論 編集
代数的整数論はいくつかの重要な応用のために群を利用する。 例えば、オイラーの積の公式
∑ n ≧ 1 1 n s = ∏ p prime 1 1 – p – s , {displaystyle {begin{aligned}}}sum _{n}geq 1}{frac {1}{n^{s}}&=prod _{p{text}prime}{frac {1}{1-p^{-s}}},\pend{aligned}} {!}}は、この式で表されます。
は任意の整数が一意に素数に分解されるという事実を捕らえたものである。
和声解析編集部
リー群やその他のある種の群に関する解析は調和解析と呼ばれる。
CombinatoricsEdit
Combinatoricsでは、並べ換え群の概念と群作用の概念は、オブジェクトの集合のカウントを単純化するためによく使用される; 特にBurnsideのレンマを参照。
MusicEdit
5th の円の12周期性の存在から、音楽集合論における初等群理論の応用が生まれた。
PhysicsEdit
物理学において、群は物理法則が従うと思われる対称性を記述するため重要である。 Noether の定理によると、物理システムのすべての連続的な対称性は、システムの保存則に対応します。 物理学者は群表現、特にリー群に非常に興味を持っている。なぜなら、これらの表現はしばしば「可能な」物理理論への道を指し示してくれるからである。
化学と材料科学編集
化学と材料科学では、点群は正多面体や分子の対称性を分類するために、空間群は結晶構造を分類するために使用されます。 割り当てられた群は、その後、物理的特性 (化学極性やキラリティなど)、分光学的特性 (特にラマン分光、赤外線分光、円二色性分光、磁気円二色性分光、紫外線/可視分光、蛍光分光に有用) を決定したり、分子軌道を構築するために使用することが可能です。 任意の分子の点群を割り当てるには、その分子に存在する対称操作の集合を見つける必要がある。 対称操作とは、軸周りの回転や鏡面を通しての反射のような作用のことである。 つまり、分子を元の配置と区別がつかないように移動させる操作のことである。 群論では、回転軸や鏡面を「対称要素」と呼ぶ。 これらの要素は、対称操作を行う点、線、面である。 5674>
化学では、5つの重要な対称操作がある。 それらは同一性操作（E）、回転操作または適切な回転（Cn）、反射操作（σ）、反転（i）、回転反射操作または不適切な回転（Sn）である。 同一操作（E）は、分子をそのままにしておく操作である。 これは、任意の軸のまわりの任意の数の全回転と等価である。 これはすべての分子の対称性であるが、キラル分子の対称性群は同一性操作のみからなる。 同一性操作は、たとえ対称性を持たない分子であっても、すべての分子の特徴である。 軸周りの回転（Cn）は、分子を特定の軸の周りに特定の角度だけ回転させることである。 回転軸を中心に360°/n（nは整数）の角度で回転することである。 例えば、水分子が酸素原子と水素原子の間を通る軸を中心に180°回転すると、スタート時と同じ配置になる。 この場合、nを2回かけると同一演算になるので、n=2である。 複数の回転軸を持つ分子では、nの値が最も大きいCn軸が最高次の回転軸または主軸となる。 例えばボラン（BH3）の場合、最高次の回転軸はC3であるから、軸の回転主軸はC3である。
反射操作（σ）では、多くの分子が目立たないが鏡面を持っている。 反射操作では、各点が平面を垂直に移動して、開始時とちょうど同じように平面から離れた位置に移動したように、左右に交換する。 平面が回転の主軸に垂直であるとき、σh（水平）と呼ばれる。 回転の主軸を含む他の面は垂直（σv）または二面体（σd）と表示される。
反転（i）はより複雑な操作である。 各点は分子の中心を通って、元の位置と反対側の、中心点から出発点と同じだけ離れた位置に移動する。 一見、反転中心があるように見える分子でも、そうでないものも多い。例えば、メタンなどの四面体分子は反転対称性を持たない。 これを見るには、右側の垂直面に2個の水素原子、左側の水平面に2個の水素原子があるメタンの模型を持ってみてください。 反転させると、右側の水平面に2個の水素原子、左側の垂直面に2個の水素原子が存在することになる。 したがって、メタンの反転操作は、反転操作後の分子の向きが元の向きと異なるため、対称性のある操作とは言えません。 そして最後の操作は不適切な回転または回転反射操作（Sn）で、360°/nの回転の後、回転軸に垂直な面を通る反射が必要です。
Statistical mechanicsEdit
Willard Gibbsによって開発された力学の統計的解釈の不完全性、つまり無限の確率の和が意味のある解をもたらすことに関連して、群論はその解決に使用することができる。 この種の暗号方式は、幾何学的対象の柔軟性、すなわち群構造の複雑さとともに、離散対数の計算が非常に困難であるという利点がある。 最古の暗号化プロトコルの一つであるシーザー暗号も、（非常に簡単な）群演算と解釈することができる。 ほとんどの暗号方式は何らかの形で群を使っている。 特にDiffie-Hellmanの鍵交換は有限の巡回群を使っている。 5674>
