Zastosowania teorii grup są bardzo liczne. Prawie wszystkie struktury w algebrze abstrakcyjnej są szczególnymi przypadkami grup. Pierścienie, na przykład, mogą być postrzegane jako grupy abelianowe (odpowiadające dodawaniu) wraz z drugą operacją (odpowiadającą mnożeniu). Dlatego argumenty z teorii grup leżą u podstaw dużej części teorii tych bytów.
Teoria GaloisEdit
Teoria Galois wykorzystuje grupy do opisu symetrii korzeni wielomianu (a dokładniej automorfizmów algebr generowanych przez te korzenie). Fundamentalne twierdzenie teorii Galois stanowi łącznik pomiędzy rozszerzeniami algebraicznymi pól a teorią grup. Podaje ono efektywne kryterium rozwiązywalności równań wielomianowych w sensie rozwiązywalności odpowiadającej im grupy Galois. Na przykład, S5, grupa symetryczna o 5 elementach, nie jest rozwiązywalna, co implikuje, że ogólne równanie kwintyczne nie może być rozwiązane przez rodniki w taki sposób, jak równania niższego stopnia. Teoria ta, będąca jednym z historycznych korzeni teorii grup, jest nadal owocnie stosowana w celu uzyskania nowych wyników w takich dziedzinach jak klasowa teoria pola.
Topologia algebraicznaEdit
Algebraiczna topologia jest kolejną dziedziną, która w sposób wybitny wiąże grupy z obiektami, którymi teoria jest zainteresowana. Grupy są tam używane do opisu pewnych inwariantów przestrzeni topologicznych. Nazywane są one „inwariantami”, ponieważ są zdefiniowane w taki sposób, że nie zmieniają się, gdy przestrzeń poddana jest pewnej deformacji. Na przykład, grupa fundamentalna „liczy” ile ścieżek w przestrzeni jest zasadniczo różnych. Sztandarowym zastosowaniem tego pomysłu jest domniemanie Poincarégo, udowodnione w latach 2002/2003 przez Grigorija Perelmana. Wpływ ten nie jest jednak jednokierunkowy. Na przykład, topologia algebraiczna używa przestrzeni Eilenberga-MacLane’a, które są przestrzeniami z wyznaczonymi grupami homotopii. Podobnie algebraiczna k-teoria opiera się w pewnym sensie na przestrzeniach klasyfikacyjnych grup. Wreszcie, nazwa podgrupy skrętnej nieskończonej grupy pokazuje dziedzictwo topologii w teorii grup.
Geometria algebraicznaEdit
Geometria algebraiczna podobnie wykorzystuje teorię grup na wiele sposobów. Odmiany abelowe zostały wprowadzone powyżej. Obecność operacji grupowej daje dodatkowe informacje, które czynią te odmiany szczególnie przystępnymi. Często służą one również jako test dla nowych przypuszczeń. Szczególnie szczegółowo badany jest przypadek jednowymiarowy, czyli krzywe eliptyczne. Są one zarówno teoretycznie, jak i praktycznie intrygujące. W innym kierunku, odmiany toryczne to odmiany algebraiczne, na które działa torus. Toroidalne embeddingi doprowadziły ostatnio do postępów w geometrii algebraicznej, w szczególności do rozwiązywania osobliwości.
Algebraiczna teoria liczbEdit
Algebraiczna teoria liczb wykorzystuje grupy do pewnych ważnych zastosowań. Na przykład, wzór na iloczyn Eulera,
∑ n ≥ 1 1 n s = ∏ p prime 1 1 – p – s , {{displaystyle {{begin{aligned}}}suma _{n+1}{{frac {1}{n^{s}}}&=prod _{p{text{ prime}}}{{frac {1}{1-p^{-s}}}},{{end{aligned}}}}}.
chwytuje fakt, że każda liczba całkowita rozkłada się w unikalny sposób na pierwiastki. Niepowodzenie tego twierdzenia dla bardziej ogólnych pierścieni daje początek grupom klasowym i regularnym pierwiastkom, które pojawiają się w traktacie Kummera o Ostatnim Twierdzeniu Fermata.
Analiza harmonicznaEdit
Analizę na grupach Lie i pewnych innych grupach nazywa się analizą harmoniczną. Miary Haara, czyli całki niezmienne pod wpływem translacji w grupie Lie, są używane do rozpoznawania wzorców i innych technik przetwarzania obrazów.
KombinatorykaEdit
W kombinatoryce pojęcie grupy permutacji i pojęcie działania grupowego są często używane do uproszczenia liczenia zbioru obiektów; zobacz w szczególności lemat Burnside’a.
MusicEdit
Obecność 12-okresowości w kręgu kwintowym daje zastosowania elementarnej teorii grup w muzycznej teorii zbiorów. Teoria transformacji modeluje transformacje muzyczne jako elementy grupy matematycznej.
PhysicsEdit
W fizyce, grupy są ważne, ponieważ opisują symetrie, które prawa fizyki wydają się przestrzegać. Zgodnie z twierdzeniem Noethera, każda ciągła symetria układu fizycznego odpowiada prawu zachowania tego układu. Fizycy są bardzo zainteresowani reprezentacjami grup, w szczególności grup Lie, ponieważ reprezentacje te często wskazują drogę do „możliwych” teorii fizycznych. Przykłady użycia grup w fizyce obejmują Model Standardowy, teorię mierników, grupę Lorentza i grupę Poincarégo.
Chemia i materiałoznawstwoEdit
W chemii i materiałoznawstwie, grupy punktowe są używane do klasyfikacji wielościanów foremnych i symetrii cząsteczek, a grupy przestrzenne do klasyfikacji struktur krystalicznych. Przypisane grupy mogą być następnie wykorzystane do określenia właściwości fizycznych (takich jak polarność chemiczna i chiralność), właściwości spektroskopowych (szczególnie przydatnych w spektroskopii Ramana, spektroskopii w podczerwieni, spektroskopii dichroizmu kołowego, spektroskopii magnetycznego dichroizmu kołowego, spektroskopii UV/Vis i spektroskopii fluorescencyjnej) oraz do konstruowania orbitali molekularnych.
Symetria molekularna jest odpowiedzialna za wiele właściwości fizycznych i spektroskopowych związków i dostarcza istotnych informacji o tym, jak zachodzą reakcje chemiczne. Aby przypisać grupę punktową dla dowolnej cząsteczki, należy znaleźć zbiór występujących na niej operacji symetrii. Operacja symetrii jest działaniem, takim jak obrót wokół osi lub odbicie przez płaszczyznę lustrzaną. Innymi słowy, jest to operacja, która przesuwa cząsteczkę tak, że jest ona nieodróżnialna od konfiguracji pierwotnej. W teorii grup osie obrotu i płaszczyzny lustrzane nazywane są „elementami symetrii”. Elementami tymi może być punkt, prosta lub płaszczyzna, względem której przeprowadzana jest operacja symetrii. Operacje symetrii cząsteczki określają specyficzną grupę punktową dla tej cząsteczki.
W chemii istnieje pięć ważnych operacji symetrii. Są to: operacja tożsamości (E), operacja rotacji lub rotacji właściwej (Cn), operacja odbicia (σ), inwersja (i) i operacja odbicia rotacyjnego lub rotacji niewłaściwej (Sn). Operacja tożsamości (E) polega na pozostawieniu cząsteczki taką, jaka jest. Jest to równoważne dowolnej liczbie pełnych obrotów wokół dowolnej osi. Jest to symetria wszystkich cząsteczek, natomiast grupa symetrii cząsteczki chiralnej składa się tylko z operacji tożsamościowej. Operacja tożsamościowa jest cechą każdej cząsteczki, nawet jeśli nie ma ona symetrii. Obrót wokół osi (Cn) polega na obróceniu cząsteczki wokół określonej osi o określony kąt. Jest to obrót o kąt 360°/n, gdzie n jest liczbą całkowitą, wokół osi obrotu. Na przykład, jeżeli cząsteczka wody obróci się o 180° wokół osi przechodzącej przez atom tlenu i między atomami wodoru, to znajduje się w takiej samej konfiguracji, w jakiej zaczynała. W tym przypadku n = 2, ponieważ dwukrotne zastosowanie tej funkcji daje operację identyczności. W cząsteczkach posiadających więcej niż jedną oś obrotu, oś Cn o największej wartości n jest osią obrotu najwyższego rzędu lub osią główną. Na przykład boran (BH3), najwyższym rzędem osi obrotu jest C3, więc główna oś obrotu osi to C3.
W operacji odbicia (σ) wiele cząsteczek ma płaszczyzny lustrzane, choć mogą one nie być oczywiste. Operacja odbicia zamienia lewo i prawo, tak jakby każdy punkt przesunął się prostopadle przez płaszczyznę do pozycji dokładnie tak daleko od płaszczyzny, jak na początku. Gdy płaszczyzna jest prostopadła do głównej osi obrotu, nazywa się ją σh (pozioma). Inne płaszczyzny, które zawierają główną oś obrotu, są oznaczane jako pionowe (σv) lub dwuścienne (σd).
Inwersja (i ) jest bardziej złożoną operacją. Każdy punkt przesuwa się przez środek cząsteczki do pozycji przeciwnej do pozycji wyjściowej i tak daleko od punktu centralnego, jak na początku. Wiele cząsteczek, które na pierwszy rzut oka wydają się mieć centrum inwersji, nie ma go; na przykład metan i inne tetraedryczne cząsteczki nie mają symetrii inwersji. Aby się o tym przekonać, przytrzymaj model metanu z dwoma atomami wodoru w płaszczyźnie pionowej po prawej stronie i dwoma atomami wodoru w płaszczyźnie poziomej po lewej stronie. Inwersja powoduje, że dwa atomy wodoru znajdują się w płaszczyźnie poziomej po prawej stronie i dwa atomy wodoru w płaszczyźnie pionowej po lewej stronie. Inwersja nie jest więc operacją symetrii metanu, ponieważ orientacja cząsteczki po operacji inwersji różni się od orientacji wyjściowej. I ostatnia operacja to obrót niewłaściwy lub operacja odbicia rotacyjnego (Sn) wymaga obrotu o 360°/n, a następnie odbicia przez płaszczyznę prostopadłą do osi obrotu.
Mechanika statystycznaEdit
Teoria grup może być użyta do rozwiązania niekompletności statystycznych interpretacji mechaniki opracowanych przez Willarda Gibbsa, odnoszących się do sumowania nieskończonej liczby prawdopodobieństw w celu uzyskania sensownego rozwiązania.
KryptografiaEdit
Bardzo duże grupy rzędu pierwszego skonstruowane w kryptografii krzywej eliptycznej służą do kryptografii z kluczem publicznym. Metody kryptograficzne tego typu korzystają z elastyczności obiektów geometrycznych, a więc ich struktur grupowych, oraz ze skomplikowanej struktury tych grup, które sprawiają, że logarytm dyskretny jest bardzo trudny do obliczenia. Jeden z najwcześniejszych protokołów szyfrujących, szyfr Cezara, może być również interpretowany jako (bardzo łatwa) operacja grupowa. Większość schematów kryptograficznych w jakiś sposób wykorzystuje grupy. W szczególności wymiana kluczy Diffie-Hellmana używa skończonych grup cyklicznych. Tak więc termin kryptografia oparta na grupach odnosi się głównie do protokołów kryptograficznych, które używają nieskończonych grup nieabelowych, takich jak grupa warkoczowa.
.