Anvendelser af gruppeteori findes i massevis. Næsten alle strukturer i abstrakt algebra er specialtilfælde af grupper. Ringe kan f.eks. betragtes som abeliske grupper (svarende til addition) sammen med en anden operation (svarende til multiplikation). Derfor ligger gruppeteoretiske argumenter til grund for store dele af teorien om disse enheder.
Galois-teoriRediger
Galois-teori bruger grupper til at beskrive symmetrierne af rødderne af et polynomium (eller mere præcist automorphismen af de algebraer, der genereres af disse rødder). Galois-teoriens fundamentale sætning giver en forbindelse mellem algebraiske feltudvidelser og gruppeteori. Det giver et effektivt kriterium for løsningen af polynomielle ligninger i form af løsningen af den tilsvarende Galois-gruppe. F.eks. er S5, den symmetriske gruppe med 5 elementer, ikke opløseligt, hvilket indebærer, at den generelle kvintligning ikke kan løses ved hjælp af radikaler på samme måde som ligninger af lavere grad kan. Teorien, der er en af gruppeteoriens historiske rødder, anvendes stadig frugtbart til at give nye resultater inden for områder som f.eks. klassefeltteori.
Algebraisk topologiRediger
Algebraisk topologi er et andet område, som på fremtrædende vis knytter grupper til de objekter, som teorien er interesseret i. Der bruges grupper til at beskrive visse invarianter af topologiske rum. De kaldes “invarianter”, fordi de er defineret på en sådan måde, at de ikke ændrer sig, hvis rummet udsættes for en eller anden deformation. F.eks. “tæller” den fundamentale gruppe, hvor mange stier i rummet der i det væsentlige er forskellige. Poincaré-konjekturen, der blev bevist i 2002/2003 af Grigori Perelman, er en fremtrædende anvendelse af denne idé. Indflydelsen er dog ikke ensrettet. F.eks. gør algebraisk topologi brug af Eilenberg-MacLane-rum, som er rum med foreskrevne homotopigrupper. På samme måde er algebraisk K-teori på en måde afhængig af klassificerende rum af grupper. Endelig viser navnet på torsionsundergruppen til en uendelig gruppe arven fra topologien i gruppeteorien.
Algebraisk geometriRediger
Algebraisk geometri anvender ligeledes gruppeteori på mange måder. Abelske varieteter er blevet introduceret ovenfor. Tilstedeværelsen af gruppeoperationen giver yderligere information, som gør disse varieteter særligt tilgængelige. De tjener også ofte som en test for nye formodninger. Det endimensionelle tilfælde, dvs. elliptiske kurver, er undersøgt særligt detaljeret. De er både teoretisk og praktisk spændende. I en anden retning er toriske sorter algebraiske sorter, der er påvirket af en torus. Toroidale indlejringer har for nylig ført til fremskridt inden for algebraisk geometri, især opløsning af singulariteter.
Algebraisk talteoriRediger
Algebraisk talteori gør brug af grupper til nogle vigtige anvendelser. Eulers produktformel,
∑ n ≥ 1 1 1 n s = ∏ p prime 1 1 1 – p – s , {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{s}}}}&=\prod _{p{{{text{ prime}}}}{\frac {1}{1}{1-p^{-s}}}},\\\end{aligned}}\!}
indfanger den kendsgerning, at ethvert heltal opløses på en unik måde i primtal. Manglen på dette udsagn for mere generelle ringe giver anledning til klassegrupper og regulære primtal, som optræder i Kummers behandling af Fermats sidste sætning.
Harmonisk analyseRediger
Analyse på Lie-grupper og visse andre grupper kaldes harmonisk analyse. Haar-foranstaltninger, dvs. integraler, der er invariante under translationen i en Lie-gruppe, bruges til mønstergenkendelse og andre billedbehandlingsteknikker.
KombinatorikRediger
I kombinatorikken bruges begrebet permutationsgruppe og begrebet gruppeaktion ofte til at forenkle optællingen af et sæt objekter; se især Burnsides lemma.
MusicEdit
Anstedeværelsen af 12-periodiciteten i kvintcirklen giver anvendelser af elementær gruppeteori i musikalsk mængdelære. Transformationsteorien modellerer musikalske transformationer som elementer af en matematisk gruppe.
PhysicsEdit
I fysikken er grupper vigtige, fordi de beskriver de symmetrier, som fysikkens love synes at adlyde. Ifølge Noethers sætning svarer enhver kontinuerlig symmetri i et fysisk system til en bevarelseslov for systemet. Fysikere er meget interesserede i grupperepræsentationer, især af Lie-grupper, da disse repræsentationer ofte viser vejen til de “mulige” fysiske teorier. Eksempler på brugen af grupper i fysikken omfatter standardmodellen, gauge-teorien, Lorentz-gruppen og Poincaré-gruppen.
Kemi og materialevidenskabRediger
I kemi og materialevidenskab anvendes punktgrupper til at klassificere regelmæssige polyedre og molekylers symmetrier og rumgrupper til at klassificere krystalstrukturer. De tildelte grupper kan derefter bruges til at bestemme fysiske egenskaber (såsom kemisk polaritet og chiralitet), spektroskopiske egenskaber (særligt nyttige til Raman-spektroskopi, infrarød spektroskopi, cirkulær dichroismespektroskopi, magnetisk cirkulær dichroismespektroskopi, UV/Vis-spektroskopi og fluorescensspektroskopi) og til at konstruere molekylære orbitaler.
Molekylær symmetri er ansvarlig for mange fysiske og spektroskopiske egenskaber ved forbindelser og giver relevant information om, hvordan kemiske reaktioner finder sted. For at kunne tildele en punktgruppe til et givet molekyle er det nødvendigt at finde det sæt symmetrioperationer, der er til stede på det. Symmetrioperationen er en handling, som f.eks. en rotation omkring en akse eller en refleksion gennem et spejlplan. Med andre ord er det en operation, der flytter molekylet på en sådan måde, at det ikke kan skelnes fra den oprindelige konfiguration. I gruppeteori kaldes rotationsakserne og spejlplanerne for “symmetrielementer”. Disse elementer kan være et punkt, en linje eller et plan, i forhold til hvilket symmetrioperationen udføres. Et molekyls symmetrioperationer bestemmer den specifikke punktgruppe for dette molekyle.
I kemi er der fem vigtige symmetrioperationer. De er identitetsoperation (E), rotationsoperation eller korrekt rotation (Cn), refleksionsoperation (σ), inversion (i) og rotationsrefleksionsoperation eller ukorrekt rotation (Sn). Identitetsoperationen (E) består i at lade molekylet forblive som det er. Dette svarer til et vilkårligt antal fulde rotationer omkring en hvilken som helst akse. Dette er en symmetri for alle molekyler, hvorimod symmetri-gruppen for et chiralt molekyle kun består af identitetsoperationen. En identitetsoperation er en egenskab ved alle molekyler, selv om de ikke har nogen symmetri. Rotation omkring en akse (Cn) består i at dreje molekylet omkring en bestemt akse med en bestemt vinkel. Det er en rotation med vinklen 360°/n, hvor n er et helt tal, om en rotationsakse. Hvis et vandmolekyle f.eks. roterer 180° rundt om den akse, der går gennem oxygenatomet og mellem hydrogenatomerne, er det i samme konfiguration, som det startede. I dette tilfælde er n = 2, da anvendelsen af den to gange giver identitetsoperationen. I molekyler med mere end én rotationsakse er den Cn-akse, der har den største værdi af n, den rotationsakse af højeste orden eller hovedakse. For eksempel Boran (BH3), den højeste rotationsakse af højeste orden er C3, så hovedrotationsakse af aksen er C3.
I spejlingsoperationen (σ) har mange molekyler spejlplaner, selv om de måske ikke er indlysende. I spejlingsoperationen byttes venstre og højre om, som om hvert punkt havde bevæget sig vinkelret gennem planen til en position præcis lige så langt fra planen, som da det startede. Når planen er vinkelret på hovedrotationsaksen, kaldes den σh (vandret). Andre planer, som indeholder hovedrotationsaksen, betegnes som lodrette (σv) eller dihedrale (σd).
Inversion (i ) er en mere kompleks operation. Hvert punkt bevæger sig gennem molekylets centrum til en position modsat den oprindelige position og lige så langt fra det centrale punkt som der, hvor det startede. Mange molekyler, der ved første øjekast ser ud til at have et inversionscenter, har ikke et sådant; f.eks. mangler methan og andre tetraedriske molekyler inversionssymmetri. For at se dette kan man holde en metanmodel med to hydrogenatomer i det lodrette plan til højre og to hydrogenatomer i det vandrette plan til venstre. Inversion resulterer i to hydrogenatomer i det vandrette plan til højre og to hydrogenatomer i det lodrette plan til venstre. Inversion er derfor ikke en symmetrioperation for methan, fordi molekylets orientering efter inversionen afviger fra den oprindelige orientering. Og den sidste operation er ukorrekt rotation eller rotation-refleksionsoperation (Sn), som kræver en rotation på 360°/n efterfulgt af en refleksion gennem et plan vinkelret på rotationsaksen.
Statistisk mekanikRediger
Gruppeteori kan bruges til at løse ufuldstændigheden af de statistiske fortolkninger af mekanikken udviklet af Willard Gibbs, der vedrører summering af et uendeligt antal sandsynligheder for at give en meningsfuld løsning.
KryptografiRediger
Meget store grupper af primorden, der er konstrueret i elliptisk kurvekryptografi, tjener til offentlig nøglekryptografi. Kryptografiske metoder af denne art drager fordel af de geometriske objekters fleksibilitet, altså deres gruppestrukturer, sammen med den komplicerede struktur af disse grupper, som gør den diskrete logaritme meget vanskelig at beregne. En af de tidligste krypteringsprotokoller, Cæsars ciffer, kan også fortolkes som en (meget let) gruppeoperation. De fleste kryptografiske ordninger anvender grupper på en eller anden måde. Især Diffie-Hellman-nøgleudveksling anvender finitte cykliske grupper. Så udtrykket gruppebaseret kryptografi refererer mest til kryptografiske protokoller, der bruger uendelige ikke-abeliske grupper som f.eks. en fletgruppe.
