Intro & Evaluation “Like” Terms
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そろそろ変数と指数に慣れてきて、3×4や6xといった数式を扱ったことがあるかもしれませんね。 多項式は、この「変数と指数」の式の和です。 多項式の各部分（つまり足し算の部分）を「項」と呼びます。
多項式とは
多項式は多項式の「項」の和（と差）です。
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式が多項式の項であるためには、式の中のすべての変数が整数の累乗（または、通常 x と書かれる x1 のように 1 の「理解できる」べき乗）でなければなりません。 また、普通の数字も多項式になることがある。 特に、ある式が多項式であるためには、変数の平方根、変数の小数や負の累乗、分数の分母に変数が含まれていないことが必要です。 以下はその例です。
This is NOT a polynomial term…
6x -2
…because the variable has a negative exponent.
This is NOT a polynomial term.これは多項式の項ではない。
…変数が分母にあるからです。
これは多項式の項ではありません…
…変数がラジカル内にあるので、多項式の項ではありません。
これは多項式です…
4×2
…なぜならすべての規則に従っているからです。
この最後の例は、項の変数が整数を持ち、分母やラジカルであってはならないことを強調しています。 項の数値の部分は好きなように乱雑にすることができる。 (しかし、少なくとも代数の授業では、その数値部分はほとんど常に整数になります。）
項理論
多項式を作るには、いくつかの項を取り、それらを足す（または引く）のです。 以下は典型的な多項式です：
3つの項の指数（つまり累乗）に注目してください。 第1項は指数2、第2項は「理解できる」指数1（これは通常含まれない）、そして最後の項は変数を全く持たないので指数は問題ではない。 この最後の項には変数がないため、値が変化することはなく、「定数」項と呼ばれます。
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（注：非常に専門的になれば、定数項には変数も含まれるが、変数の形式は「x0」だと言えるかもしれない。 変数はゼロの累乗で、常に 1 に評価されるので、7×0 = 7(1) = 7 というように何も変わらないので無視される)
また、項の累乗は最初の項の最大の 2 から始まって、そこからカウントダウンすることに注意してください。 累乗や指数を表す別の言葉として「次数」があります。 項を書くときに、変数の累乗が大きいものから小さいものになるように書くことを、「降順」といいます。 多項式は通常、定数項が最後尾に来るように降順に書かれます。 (注意: 多項式の項が完全に正しくても、降順に書かれていない場合、答えを間違っているとみなす講師もいます。)
多項式の最初の項は、その多項式が降順に書かれている場合、最大の指数を持つ項でもあり、「先行」項と呼ばれています。
ある項の変数に数値が掛けられる場合、この数値はその項の「係数」（koh-ee-FISH-int）、または「数値係数」と呼ばれます。 先頭の項（上の例では「4」）の係数が「先頭係数」である。
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項の可変部分の指数は、その項の「程度」を表します。 例えば、上記の多項式の先頭の項の変数xのべき乗は2です。これは、先頭の項が「2次の項」、つまり「2度の項」であることを意味します。
どの多項式でも、前項の次数で多項式全体の次数がわかるので、上の多項式は「2次の多項式」、つまり「2次の多項式」であることがわかります。
-
以下の多項式の次数を与え、先頭の係数と定数項があればその値を与えよ。 2×5 – 5×3 – 10x + 9
この多項式は、5次の項、3次の項、1次の項、および定数項である変数を含まない項の4つの項を持っている。
どの変数にも最大の乗は第1項の5であり、これは2×5が第1項となる5次の多項式となる。
先頭の項の数値部分は5で、これが先頭の係数です。
変数を含まない項があり、それは末尾の9です。
次数：5
先頭係数：2
定数：9
-
次の多項式の次数を決定し、先頭係数と、もしあるならば定数項の値をリストアップしなさい。 6×2 + 7×4 + x
この多項式は、2次の項、4次の項、1次の項の3つの項を持っています。
3つの項は降順に書かれていないことに気づきます。 6×2は最初に書かれているが、最高次数を持たないので、「先頭」の項ではない。 最高次の項は7×4ですから、これは4次の多項式です。
次数：4
係数の先頭：7
定数：なし
下のMathwayウィジェットで、多項式の次数を求める練習をすることができます。 入力された練習問題を試すか、自分で練習問題を入力してください。 次にボタンをクリックし、下にスクロールして「次数を求める」（またはもう少しスクロールして「次数、先行項、先行係数を求める」を選択する）を選択し、Mathwayの答えと比較してみてください。 (またはウィジェットをスキップして、レッスンを続ける。)
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多項式の名前
ただし、短い多項式には項の数によって独自の名前がついているのだそうです。
それ以上の項数の多項式の名前があるかどうかは知りませんし、私が挙げた3つ以外の名前は聞いたことがありません。
多項式にも次数の名前がつくことがあります。
高次の多項式の名前もありますが、上に挙げたもの以外の名前を聞いたことがありません。
ところで、そうですね、atvが「quad bike」と呼ばれたり、プロペラが4つのドローンが「quad-copter」と呼ばれているように、通常接頭語のquadは「4」を表しますね。 しかし、多項式の場合、「quadratic」の「quad」はラテン語の「making square」に由来している。 例えば、部屋の面積を求めるために縦と横を掛け合わせると、面積の単位が2乗になるように。 例えば、6m×8mの部屋の面積は48m2です。 次数2の多項式の「4乗」は、放物線や初期の多項式の幾何学的起源から、正方形の4隅を指しているわけです。
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評価
多項式の「評価」は他の何かの評価と同じで、つまり与えられた値を取り、適切な変数についてそれを差し込み、単純化して結果の値を見つけるのです。
-
Evaluate 2×3 – x2 – 4x + 2 at x = -3
-
評価 x5 + 4×4 – 9x + 7 at x = -2
xのすべての例に対して -2 を差し込んで、単純化するんだ。
(-2)5 + 4(-2)4 – 9(-2) + 7
(-32) + 4(16) – (-18) + 7
-32 + 64 + 18 + 7
-32 + 89
評価を行う際には常にマイナス記号に気を付けましょう！
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