¿Por qué aprender sobre los fractales?
¡Los fractales están por todas partes! Si no me crees, sólo tienes que mirar fuera de tu ventana. Desde las formas de los árboles y los arbustos hasta los perfiles dentados de las montañas y las costas irregulares, muchas características de nuestro mundo natural parecen estar modeladas por la geometría fractal.
¿Pero qué es exactamente un fractal? Como aprenderás en este módulo, un fractal es un objeto que muestra autosimilitud en todos los niveles. Es decir, cuando te acercas a una sección, se parece a toda la imagen. Esta autosimilitud no tiene por qué ser exacta; de hecho, muchos fractales muestran cierta variación o aleatoriedad. A continuación se muestra un vídeo que ilustra cómo el conjunto de Mandelbrot, un fractal muy conocido, muestra autosimilitud.
Aunque algunos fractales (como el conjunto de Mandelbrot) podrían pasar por obras de arte, la verdadera belleza de los fractales radica en cómo diseños y patrones tan intrincados pueden resultar de fórmulas o reglas generadoras muy elementales.
En este módulo, aprenderás a crear patrones fractales como el conjunto de Mandelbrot utilizando una fórmula sencilla como:
z_{n+1} = z_n^2 + c
Por supuesto, hay muchos detalles que aún deben explicarse, como la relación entre los fractales y los números complejos. Se supone que los valores de c, z_n y z_{n+1} en la fórmula anterior son números complejos, es decir, números que incluyen la unidad imaginaria, i = \sqrt{-1}.
El número imaginario i es algo completamente diferente a cualquier número que hayas visto. De hecho, ¡i no aparece en la recta numérica en absoluto! En cambio, como pronto descubrirás, la unidad imaginaria vive en su propia recta numérica separada, llamada eje imaginario, que es perpendicular a la recta numérica habitual (o eje real).
El propio conjunto de Mandelbrot está formado por los números complejos que satisfacen una determinada regla relacionada con una ecuación simple. La imagen resultante es asombrosa, y se vuelve más y más fascinante a medida que se amplía.
Un conjunto de Mandelbrot en el plano complejo.