Aplicações da teoria de grupo são abundantes. Quase todas as estruturas em álgebra abstrata são casos especiais de grupos. Anéis, por exemplo, podem ser vistos como grupos abelianos (correspondentes à adição) juntamente com uma segunda operação (correspondente à multiplicação). Portanto, argumentos teóricos de grupos estão subjacentes a grandes partes da teoria dessas entidades.
Teoria GaloisEditar
Teoria Galois usa grupos para descrever as simetrias das raízes de um polinômio (ou mais precisamente os automorfismos das algas geradas por estas raízes). O teorema fundamental da teoria de Galois fornece uma ligação entre as extensões do campo algébrico e a teoria dos grupos. Ele dá um critério efetivo para a solvabilidade das equações polinomiais em termos da solvabilidade do grupo Galois correspondente. Por exemplo, S5, o grupo simétrico em 5 elementos, não é solvível, o que implica que a equação quíntica geral não pode ser resolvida pelos radicais da mesma forma que as equações de menor grau. A teoria, sendo uma das raízes históricas da teoria de grupo, ainda é frutuosamente aplicada para produzir novos resultados em áreas como a teoria de campo de classes.
Topologia algébricaEditar
A topologia algébrica é outro domínio que associa de forma proeminente grupos aos objetos nos quais a teoria está interessada. Lá, grupos são usados para descrever certas invariantes dos espaços topológicos. Eles são chamados de “invariantes” porque são definidos de tal forma que não mudam se o espaço estiver sujeito a alguma deformação. Por exemplo, o grupo fundamental “conta” quantos caminhos no espaço são essencialmente diferentes. A conjectura Poincaré, comprovada em 2002/2003 por Grigori Perelman, é uma aplicação proeminente desta ideia. A influência não é unidirecional, no entanto. Por exemplo, a topologia algébrica faz uso dos espaços Eilenberg-MacLane que são espaços com grupos de homotopia prescritos. Da mesma forma, a teoria algébrica K baseia-se, de certa forma, na classificação de espaços de grupos. Finalmente, o nome do subgrupo de torção de um grupo infinito mostra o legado da topologia na teoria dos grupos.
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Geometria algébricaEditar
A geometria algébrica também usa a teoria de grupo de muitas maneiras. As variedades abelianas foram introduzidas acima. A presença da operação de grupo produz informação adicional que torna estas variedades particularmente acessíveis. Elas também servem frequentemente como um teste para novas conjecturas. O caso unidimensional, nomeadamente as curvas elípticas, é estudado com particular detalhe. Elas são tanto teóricas como praticamente intrigantes. Em outra direção, as variedades tóricas são variedades algébricas atuadas por um toro. As incrustações toroidais levaram recentemente a avanços na geometria algébrica, em particular a resolução de singularidades.
Teoria dos números algébricosEditar
Teoria algébrica dos números faz uso de grupos para algumas aplicações importantes. Por exemplo, a fórmula do produto de Euler,
∑ n ≥ 1 1 n s = ∏ p prime 1 1 – p – s , {\i1}displaystyle {\i}{\i1}begin{\i}sum _{\i1}geq 1}{\i1}frac {\i}{n^{\i}}&==prod _{\i}{\i}{\i1}{\i1-p^{\i},{\i}end{\i}}end{\i}
capta o facto de que qualquer número inteiro se decompõe de uma forma única em primes. O fracasso desta afirmação para anéis mais gerais dá origem a grupos de classes e primes regulares, que aparecem no tratamento de Kummer do último teorema de Fermat.
Análise harmônicaEditar
Análise em grupos de mentiras e alguns outros grupos é chamada análise harmônica. Medidas de Haar, ou seja, integrais invariantes sob a tradução em um grupo de mentira, são usadas para reconhecimento de padrões e outras técnicas de processamento de imagens.
CombinatoricsEdit
Em combinatorics, a noção de grupo de permutação e o conceito de ação de grupo são frequentemente usados para simplificar a contagem de um conjunto de objetos; veja em particular o lema de Burnside.
MusicEdit
A presença da periodicidade de 12 no círculo de quintos produz aplicações da teoria elementar dos grupos na teoria dos conjuntos musicais. A teoria transformacional modela as transformações musicais como elementos de um grupo matemático.
PhysicsEdit
Na física, os grupos são importantes porque descrevem as simetrias que as leis da física parecem obedecer. Segundo o teorema de Noether, toda simetria contínua de um sistema físico corresponde a uma lei de conservação do sistema. Os físicos estão muito interessados em representações de grupos, especialmente de grupos de mentiras, já que essas representações muitas vezes apontam o caminho para as “possíveis” teorias físicas. Exemplos do uso de grupos em física incluem o Modelo Padrão, a teoria do calibre, o grupo Lorentz e o grupo Poincaré.
Química e ciência dos materiaisEditar
Na química e ciência dos materiais, grupos de pontos são usados para classificar poliedros regulares, e as simetrias das moléculas, e grupos espaciais para classificar estruturas cristalinas. Os grupos designados podem então ser usados para determinar propriedades físicas (tais como polaridade química e quiralidade), propriedades espectroscópicas (particularmente úteis para a espectroscopia Raman, espectroscopia infravermelha, espectroscopia de dicroísmo circular, espectroscopia de dicroísmo circular magnético, espectroscopia UV/Vis e espectroscopia de fluorescência), e para construir orbitais moleculares.
A simetria molecular é responsável por muitas propriedades físicas e espectroscópicas dos compostos e fornece informações relevantes sobre como as reações químicas ocorrem. A fim de atribuir um grupo de pontos para qualquer molécula, é necessário encontrar o conjunto de operações de simetria presentes nela. A operação de simetria é uma ação, tal como uma rotação em torno de um eixo ou um reflexo através de um plano espelho. Em outras palavras, é uma operação que move a molécula de tal forma que ela é indistinguível da configuração original. Na teoria de grupo, os eixos de rotação e os planos espelhados são chamados de “elementos de simetria”. Estes elementos podem ser um ponto, linha ou plano em relação ao qual se realiza a operação de simetria. As operações de simetria de uma molécula determinam o grupo de pontos específicos para esta molécula.
>Em química, existem cinco importantes operações de simetria. São operações de identidade (E), operação de rotação ou rotação apropriada (Cn), operação de reflexão (σ), operação de inversão (i) e operação de reflexão de rotação ou rotação imprópria (Sn). A operação de identidade (E) consiste em deixar a molécula como está. Isto é equivalente a qualquer número de rotações completas em torno de qualquer eixo. Esta é uma simetria de todas as moléculas, enquanto o grupo de simetria de uma molécula quiral consiste apenas na operação de identidade. Uma operação de identidade é uma característica de cada molécula, mesmo que não tenha simetria. A rotação em torno de um eixo (Cn) consiste em girar a molécula em torno de um eixo específico por um ângulo específico. É a rotação através do ângulo 360°/n, onde n é um número inteiro, sobre um eixo de rotação. Por exemplo, se uma molécula de água gira 180° ao redor do eixo que passa através do átomo de oxigênio e entre os átomos de hidrogênio, ela está na mesma configuração em que começou. Neste caso, n = 2, já que a sua aplicação produz duas vezes a operação de identidade. Em moléculas com mais de um eixo de rotação, o eixo Cn com o maior valor de n é o eixo de rotação de maior ordem ou eixo principal. Por exemplo Borane (BH3), a ordem mais alta do eixo de rotação é C3, portanto o eixo de rotação principal do eixo é C3.
Na operação de reflexão (σ) muitas moléculas têm planos espelho, embora possam não ser óbvias. A operação de reflexão troca à esquerda e à direita, como se cada ponto tivesse se movido perpendicularmente através do plano para uma posição exatamente tão distante do plano como quando começou. Quando o plano é perpendicular ao eixo principal de rotação, chama-se σh (horizontal). Outros planos, que contêm o eixo de rotação principal, são denominados verticais (σv) ou diedros (σd).
Inversão (i ) é uma operação mais complexa. Cada ponto move-se através do centro da molécula para uma posição oposta à posição original e tão distante do ponto central como do ponto de partida. Muitas moléculas que parecem à primeira vista ter um centro de inversão não têm; por exemplo, o metano e outras moléculas tetraédricas não têm simetria de inversão. Para ver isto, segure um modelo de metano com dois átomos de hidrogênio no plano vertical à direita e dois átomos de hidrogênio no plano horizontal à esquerda. A inversão resulta em dois átomos de hidrogênio no plano horizontal à direita e dois átomos de hidrogênio no plano vertical à esquerda. Portanto, a inversão não é uma operação de simetria do metano, porque a orientação da molécula após a operação de inversão é diferente da orientação original. E a última operação é de rotação inadequada ou de reflexão de rotação (Sn) requer uma rotação de 360°/n, seguida de reflexão através de um plano perpendicular ao eixo de rotação.
Mecânica estatísticaEditar
A teoria do grupo pode ser usada para resolver a incompletude das interpretações estatísticas da mecânica desenvolvidas por Willard Gibbs, relativas à soma de um número infinito de probabilidades para produzir uma solução significativa.
CriptografiaEditar
Grupos muito grandes de ordem primária construídos em criptografia de curva elíptica servem para criptografia de chave pública. Métodos criptográficos deste tipo beneficiam da flexibilidade dos objectos geométricos, daí as suas estruturas de grupo, juntamente com a estrutura complicada destes grupos, que tornam o logaritmo discreto muito difícil de calcular. Um dos primeiros protocolos de criptografia, a cifra de César, também pode ser interpretado como uma operação de grupo (muito fácil). A maioria dos esquemas criptográficos usa grupos de alguma forma. Em particular a troca de chaves Diffie-Hellman usa grupos cíclicos finitos. Então o termo criptografia baseada em grupos refere-se principalmente a protocolos criptográficos que usam infinitos grupos não rotulados como um grupo trançado.
