Varför lära sig om fraktaler?
Fraktaler finns överallt! Om du inte tror mig är det bara att ta en titt utanför ditt fönster. Från trädens och buskarnas former till bergens kuperade profiler och de oregelbundna kustlinjerna – många inslag i vår naturliga värld verkar vara modellerade av fraktalgeometri.
Men vad exakt är en fraktal? Som du kommer att lära dig i den här modulen är en fraktal ett objekt som uppvisar självlikhet på alla nivåer. Det vill säga, när du zoomar in på ett avsnitt liknar det hela bilden. Denna självlikhet behöver inte vara exakt; i själva verket uppvisar många fraktaler en viss variation eller slumpmässighet. Nedan visas en video som illustrerar hur Mandelbrot-mängden, en välkänd fraktal, uppvisar självlikhet.
Men även om vissa fraktaler (som Mandelbrot-mängden) skulle kunna passera för konstverk, ligger den verkliga skönheten hos fraktaler i hur så invecklade mönster och konstruktioner kan uppstå från mycket elementära genereringsformler eller regler.
I den här modulen kommer du att lära dig att skapa fraktalmönster som Mandelbrot-uppsättningen med hjälp av en enkel formel som:
z_{n+1} = z_n^2 + c
Självklart finns det många detaljer som fortfarande måste förklaras, till exempel förhållandet mellan fraktaler och komplexa tal. Värdena för c, z_n och z_{n+1} i formeln ovan ska vara komplexa tal, det vill säga tal som innehåller den imaginära enheten i = \sqrt{-1}.
Det imaginära talet i är något helt annat än något tal du någonsin har sett. Faktum är att i inte alls dyker upp på tallinjen! Istället, som du snart kommer att upptäcka, lever den imaginära enheten på en egen separat tallinje, kallad den imaginära axeln, som är vinkelrät mot den vanliga tallinjen (eller den reella axeln).
Mandelbrotmängden i sig består av de komplexa tal som uppfyller en viss regel relaterad till en enkel ekvation. Bilden är fantastisk och blir mer och mer fascinerande när man zoomar in!
En Mandelbrot-uppsättning i det komplexa planet.