Vždy jsem se domníval, že bilaterální Laplaceova transformace konstantní funkce $f(t) = c$ neexistuje. Jak by mohl konvergovat následující integrál,
$$\mathcal{L}=\int\limits_\mathbb{R}ce^{-st}\,\mathrm{d}t\;?$$
Poté jsem se dozvěděl o distribucích a o tom, že jsou ideálními kandidáty na nalezení Fourierovy transformace „problematických“ funkcí, pro které je obtížné nebo dokonce nemožné vyhodnotit obvyklý Fourierův integrál. Zde lze transformovat konstantní funkci a získat Diracův impuls $\delta(f)$ a podle duality to platí i v opačném směru.
Takže Laplaceovu transformaci Diracova impulsu snadno nalezneme s využitím prosévací vlastnosti a definice Diracova impulsu:
$$\mathcal{L}=\int\limits_\mathbb{R}\delta(t)e^{-st}\,\mathrm{d}t=\int\limits_\mathbb{R}\delta(t)\underbrace{e^{-s\cdot0}}_{=1}\,\mathrm{d}t=1.$$
Teď mě napadlo, proč neplatí následující,
$$\mathcal{L}=\delta(s).$$
Prohledal jsem několik článků a přednášek o Laplaceově transformaci rozdělení, ale nikde jsem nenašel důvod, proč to neplatí (možná jsem to ale přehlédl).Pak jsem se snažil zjistit, zda je definováno $\delta(s)$, ale všechny zdroje, které jsem našel, definovaly obor distribucí i testovacích funkcí (uvažujme Schwartzovy funkce) jako reálnou přímku nebo její podmnožiny.
Podezírám se, že existuje důvod, který brání tomu, aby byly distribuce definovány v komplexní rovině. Možná to souvisí s komplexní integrací, ale nejsem si jistý.
Dalším důvodem, který mě napadl, je oblast konvergence. Když se podíváme na Laplaceovu transformaci $f(t)$ jako na Fourierovu transformaci $f(t)e^{-\alpha t}$, kde $\alpha=\mathrm{Re}(s)$, myslím, že to lze řešit pouze v kontextu distibucí, kdy $\alpha=0$. Jinak bychom mohli najít testovací funkci $\phi(t)$, která exponenciálně klesá, a tak dvojice $\langle 1\cdot e^{-\alpha t}, \phi(t)\rangle \; \forall \alpha \neq 0$ dává integrál nad konstantní funkcí, která nebude konvergovat. Pokud je však oblastí konvergence právě imaginární osa, nemůžeme integrál vyhodnotit v inverzní Laplaceově transformaci (ale nedokážu říct proč. Je to spíše pocit).
Těším se na osvětlující odpovědi, proč nemůžeme najít bilaterální Laplaceovu transformaci konstantní funkce.
Edit: V poznámkách z mého kurzu Signálové & systémy se tvrdilo, že to bude totéž jako součet transformací obvyklé a odražené skokové funkce. Výsledná oblast konvergence je sjednocením obou oblastí, které se však nepřekrývají, protože se jedná o levou, respektive pravou polorovinu. Proto nemůže existovat dvoustranná transformace konstantní funkce. Proč to však vylučuje použití distribucí?
.