Întotdeauna am acceptat că Transformata Laplace bilaterală a unei funcții constante $f(t) = c$ nu există. Cum ar putea fi posibilă convergența următoarei integrale,
$$$\mathcal{L}=\int\limits_\mathbb{R}ce^{-st}\,\mathrm{d}t\;?$$
Apoi am aflat despre distribuții și despre cum acestea sunt candidate perfecte pentru a găsi Transformata Fourier a unor funcții „problematice” pentru care este greu sau chiar imposibil de evaluat integrala Fourier obișnuită. Aici, o funcție constantă poate fi transformată și dă impulsul Dirac $\delta(f)$ și, prin dualitate, acest lucru este valabil și în cealaltă direcție.
Deci, transformata Laplace a unui impuls Dirac este ușor de găsit prin utilizarea proprietății de cernere și a definiției impulsului Dirac:
$$\mathcal{L}=\int\limits_\mathbb{R}\delta(t)e^{-st}\,\mathrm{d}t=\int\limits_\mathbb{R}\delta(t)\underbrace{e^{-s\cdot0}}_{=1}\,\mathrm{d}t=1.$$
Acum mă întrebam, de ce nu se adeverește ceea ce urmează,
$$\mathcal{L}=\delta(s).$$
Am căutat câteva lucrări și prelegeri despre transformata Laplace a distribuțiilor, dar nicăieri nu am găsit un motiv pentru care acest lucru nu este adevărat (este posibil să fi trecut cu vederea, totuși).Am încercat apoi să aflu, dacă $\delta(s)$ este definită, dar toate sursele pe care le-am găsit au definit domeniul atât al distribuțiilor cât și al funcțiilor de test (să considerăm funcțiile Schwartz) ca fiind linia reală sau subansambluri ale acesteia.
Suspectez că există o rațiune care împiedică ca distribuțiile să fie definite pe planul complex. Poate că are de-a face cu integrarea complexă, dar nu sunt sigur.
Un alt motiv la care mă gândeam este regiunea de convergență. Dacă privim transformata Laplace a lui $f(t)$ ca transformată Fourier a lui $f(t)e^{-\alpha t}$, unde $\alpha=\mathrm{Re}(s)$, cred că acest lucru poate fi tratat doar în contextul distibuțiilor când $\alpha=0$. În caz contrar, am putea găsi o funcție test $\phi(t)$ care scade exponențial și, astfel, asocierea $\langle 1\cdot e^{-\alpha t}, \phi(t)\rangle \; \forall \alpha \neq 0$ dă integrala peste o funcție constantă care nu va converge. Dar dacă regiunea de convergență este doar axa imaginară, nu putem evalua integrala în transformata Laplace inversă (dar nu pot spune cu adevărat, de ce. Este mai degrabă o presimțire).
Aștept cu nerăbdare răspunsuri lămuritoare de ce nu putem găsi transformata Laplace bilaterală a unei funcții constante.
Edit: În notele de la cursul meu de Sisteme de semnale & s-a argumentat că ar fi același lucru cu suma transformărilor unei funcții obișnuite și a unei funcții în trepte reflectate. Regiunea de convergență rezultată este uniunea celor două regiuni, dar ele nu se suprapun, deoarece acestea sunt jumătatea stângă a planului și, respectiv, jumătatea dreaptă a planului. Prin urmare, transformarea bilaterală a unei funcții constante nu poate exista. Dar de ce exclude acest lucru utilizarea distribuțiilor?
.