Ho sempre accettato che la trasformata bilaterale di Laplace di una funzione costante $f(t) = c$ non esiste. Come potrebbe mai convergere il seguente integrale,
$$$\mathcal{L}=int\limits_\mathbb{R}ce^{-st},\mathrm{d}t\;?$$
Poi ho imparato a conoscere le distribuzioni e come esse siano candidate perfette per trovare la trasformata di Fourier di funzioni “problematiche” per le quali è difficile o addirittura impossibile valutare il solito integrale di Fourier. Qui, una funzione costante può essere trasformata e produce l’impulso di Dirac $\delta(f)$ e per dualità, questo vale anche nell’altra direzione.
Così la trasformata di Laplace di un impulso di Dirac si trova facilmente impiegando la proprietà del vaglio e la definizione dell’impulso di Dirac:
$$\mathcal{L}=\int\limits_\mathbb{R}\delta(t)e^{-st}\,\mathrm{d}t=\int\limits_\mathbb{R}\delta(t)\underbrace{e^{-s\cdot0}}_{=1}\,\mathrm{d}t=1.$$
Ora mi chiedevo, perché la seguente non è valida,
$$\mathcal{L}=\delta(s).$$
Ho cercato in alcuni articoli e lezioni sulla trasformata di Laplace delle distribuzioni, ma da nessuna parte ho trovato una ragione per cui questo non è vero (potrei averla trascurata, però).Ho poi cercato di scoprire se $\delta(s)$ è definito, ma tutte le fonti che ho trovato definiscono il dominio sia delle distribuzioni che delle funzioni test (consideriamo le funzioni Schwartz) come la linea reale o sottoinsiemi di essa.
Sospetto che ci sia una ragione che impedisce alle distribuzioni di essere definite sul piano complesso. Forse ha a che fare con l’integrazione complessa, ma non ne sono sicuro.
Un’altra ragione a cui stavo pensando è la regione di convergenza. Quando si visualizza la Trasformata di Laplace di $f(t)$ come la Trasformata di Fourier di $f(t)e^{-\alpha t}$, dove $\alpha=\mathrm{Re}(s)$, penso che questo possa essere trattato solo nel contesto delle distribuzioni quando $\alpha=0$. Altrimenti potremmo trovare una funzione test $\phi(t)$ che diminuisce esponenzialmente e quindi l’accoppiamento $\langolo 1\cdot e^{-alpha t}, \phi(t)\rangolo \; \per tutti \alpha \neq 0$ dà l’integrale su una funzione costante che non converge. Ma se la regione di convergenza è solo l’asse immaginario, non possiamo valutare l’integrale nella Trasformata di Laplace inversa (ma non so davvero dire perché. È piuttosto una sensazione viscerale).
Sono in attesa di risposte illuminanti sul perché non possiamo trovare la Trasformata di Laplace bilaterale di una funzione costante.
Modifica: Negli appunti del mio corso di Sistemi di Segnali &è stato sostenuto che sarebbe la stessa della somma delle trasformazioni di una funzione usuale e di una funzione a gradini riflessa. La regione di convergenza risultante è l’unione di entrambe le regioni, ma non si sovrappongono perché queste sono rispettivamente il mezzo piano sinistro e il mezzo piano destro. Quindi, la trasformata bilaterale di una funzione costante non può esistere. Ma perché questo esclude l’uso delle distribuzioni?