Mindig elfogadtam, hogy egy konstans függvény $f(t) = c$ kétoldali Laplace-transzformációja nem létezik. Hogyan konvergálhatna a következő integrál,
$$\mathcal{L}=\int\limits_\mathbb{R}ce^{-st}\,\mathrm{d}t\;?$$
Aztán megismertem az eloszlásokat, és hogy ezek tökéletes jelöltek olyan “problémás” függvények Fourier-transzformációjának megtalálására, amelyekre a szokásos Fourier-integrál nehezen vagy egyáltalán nem értékelhető ki. Itt egy konstans függvény transzformálható és a Dirac-impulzust $\delta(f)$ adja, és a dualitás révén ez a másik irányban is érvényes.
A Dirac-impulzus Laplace-transzformációja tehát a szitálási tulajdonság és a Dirac-impulzus definíciójának felhasználásával könnyen megtalálható:
$$\mathcal{L}=\int\limits_\mathbb{R}\delta(t)e^{-st}\,\mathrm{d}t=\int\limits_\mathbb{R}\delta(t)\underbrace{e^{-s\cdot0}}_{=1}\,\mathrm{d}t=1.$$
Most azon gondolkodtam, hogy miért nem érvényes a következő,
$$$\mathcal{L}=\delta(s).$$
Nézegettem néhány dolgozatot és előadást az eloszlások Laplace-transzformációjáról, de sehol nem találtam indoklást arra, hogy ez miért nem igaz (bár lehet, hogy elnéztem).Ezután megpróbáltam kideríteni, hogy $\delta(s)$ definiált-e, de minden forrás, amit találtam, mind az eloszlások, mind a tesztfüggvények (tekintsük Schwartz-függvénynek) tartományát a valós egyenesnek vagy annak részhalmazainak határozta meg.
Gyanítom, hogy van valami ok, ami megakadályozza, hogy az eloszlásokat a komplex síkon definiáljuk. Talán a komplex integráláshoz van köze, de nem vagyok benne biztos.
A másik ok, amire gondoltam, a konvergencia régió. Ha a $f(t)$ Laplace-transzformációját a $f(t)e^{-\alpha t}$ Fourier-transzformációjaként tekintjük, ahol $\alpha=\mathrm{Re}(s)$, akkor szerintem ez csak akkor kezelhető az eloszlások kontextusában, ha $\alpha=0$. Ellenkező esetben találhatunk olyan $\phi(t)$ tesztfüggvényt, amely exponenciálisan csökken, és így a $\langle 1\cdot e^{-\alpha t}, \phi(t)\rangle \; \forall \alpha \neq 0$ párosítás egy konstans függvény feletti integrált ad, amely nem fog konvergálni. De ha a konvergencia régiója csak a képzeletbeli tengely, akkor nem tudjuk kiértékelni az integrált az inverz Laplace-transzformációban (de nem igazán tudom megmondani, hogy miért. Ez inkább csak megérzés).
Várom a felvilágosító válaszokat, hogy miért nem tudjuk megtalálni egy konstans függvény kétoldalú Laplace-transzformációját.
Szerkesztés: A Jelek & Rendszerek órám jegyzeteiben azt állították, hogy ez ugyanaz lenne, mint egy szokásos és egy visszavert lépésfüggvény transzformációinak összege. Az így kapott konvergencia tartomány a két tartomány uniója, de ezek nem fedik egymást, mivel ezek a bal félsík, illetve a jobb félsík. Ezért egy konstans függvény kétoldalú transzformációja nem létezhet. De miért zárja ez ki az eloszlások használatát?