Ik heb altijd aangenomen dat de bilaterale Laplace Transformatie van een constante functie $f(t) = c$ niet bestaat. Hoe zou de volgende integraal kunnen convergeren,
$$\mathcal{L}=$\int\limits_\mathbb{R}ce^{-st},\mathrm{d}t;?$$
Toen leerde ik over verdelingen en hoe deze perfecte kandidaten zijn om de Fourier Transformatie te vinden van “problematische” functies waarvoor het moeilijk of zelfs onmogelijk is om de gebruikelijke Fourier integraal te evalueren. Hier kan een constante functie worden getransformeerd en levert de Dirac impuls $delta(f)$ op en door dualiteit geldt dit ook in de andere richting.
Dus de Laplace Transformatie van een Dirac impuls is gemakkelijk te vinden door gebruik te maken van de schiftingseigenschap en de definitie van de Dirac impuls:
$$\mathcal{L}=\int\limits_\mathbb{R}\delta(t)e^{-st}\,\mathrm{d}t=\int\limits_\mathbb{R}\delta(t)\underbrace{e^{-s\cdot0}}_{=1}\,\mathrm{d}t=1.$$
Nu vroeg ik me af, waarom het volgende niet opgaat,
$$\mathcal{L}=delta(s).$$
Ik heb een paar papers en lezingen over de Laplace Transform van verdelingen opgezocht, maar nergens vond ik een reden waarom dit niet waar is (ik kan het echter over het hoofd gezien hebben).Ik heb toen geprobeerd uit te zoeken of $delta(s)$ gedefinieerd is, maar alle bronnen die ik vond definieerden het domein van zowel verdelingen als testfuncties (laten we Schwartz functies beschouwen) als de reele lijn of deelverzamelingen daarvan.
Ik vermoed dat er een reden is waarom verdelingen niet gedefinieerd kunnen worden op het complexe vlak. Misschien heeft het te maken met complexe integratie, maar dat weet ik niet zeker.
Een andere reden waar ik aan dacht is het convergentiegebied. Als je de Laplace Transformatie van $f(t)$ ziet als de Fouriertransformatie van $f(t)e^{-alfa t}$, waarbij $\alpha=\mathrm{Re}(s)$, dan denk ik dat dit alleen kan worden behandeld in de context van ontbindingen als $\alpha=0$. Anders zouden we een testfunctie $\phi(t)$ kunnen vinden die exponentieel afneemt en dus de koppeling $\langle 1\cdot e^{-alpha t}, \phi(t)\rangle \; \forall \alpha \neq 0$ geeft de integraal over een constante functie die niet zal convergeren. Maar als het convergentiegebied alleen de imaginaire as is, kunnen we de integraal niet evalueren in de inverse Laplace Transformatie (maar ik kan niet echt zeggen waarom. Het is eerder een onderbuikgevoel).
Ik kijk uit naar verhelderende antwoorden waarom we de bilaterale Laplace Transformatie van een constante functie niet kunnen vinden.
Edit: In de aantekeningen van mijn cursus Signals & Systems werd gesteld dat het hetzelfde zou zijn als de som van de transformaties van een gewone en een gereflecteerde stapfunctie. Het resulterende convergentiegebied is de unie van beide gebieden, maar zij overlappen elkaar niet omdat dit respectievelijk het linker halfvlak en het rechter halfvlak zijn. De bilaterale transformatie van een constante functie kan dus niet bestaan. Maar waarom sluit dit het gebruik van verdelingen uit?