Zawsze przyjmowałem, że dwustronna transformata Laplace’a stałej funkcji $f(t) = c$ nie istnieje. W jaki sposób następująca całka mogłaby być zbieżna,
$$
Potem dowiedziałem się o dystrybuantach i o tym, że są one doskonałymi kandydatami do znalezienia transformaty Fouriera „problematycznych” funkcji, dla których trudno lub nawet nie można obliczyć zwykłej całki Fouriera. Tutaj, stała funkcja może być przekształcona i daje impuls Diraca $delta(f)$ i przez dualność, to ma również w drugim kierunku.
Więc transformatę Laplace’a impulsu Diraca można łatwo znaleźć wykorzystując własność przesiewania i definicję impulsu Diraca:
$$\mathcal{L}=\int\limits_\mathbb{R}\delta(t)e^{-st}\,\mathrm{d}t=\int\limits_\mathbb{R}\delta(t)\underbrace{e^{-s\cdot0}}_{=1}\,\mathrm{d}t=1.$$
Teraz zastanawiałem się, dlaczego nie zachodzi następująca zależność,
$$mathcal{L}=delta(s).$$
Sprawdziłem kilka prac i wykładów na temat transformaty Laplace’a rozkładów, ale nigdzie nie znalazłem powodu, dla którego nie jest to prawdą (mogłem to jednak przeoczyć).Następnie próbowałem się dowiedzieć, czy $delta(s)$ jest zdefiniowana, ale wszystkie źródła, które znalazłem definiowały dziedzinę zarówno rozkładów jak i funkcji testowych (rozważmy funkcje Schwartza) jako linię rzeczywistą lub jej podzbiory.
Podejrzewam, że istnieje powód, który uniemożliwia zdefiniowanie rozkładów na płaszczyźnie zespolonej. Może ma to związek z całkowaniem zespolonym, ale nie jestem pewien.
Innym powodem, o którym myślałem, jest region zbieżności. Patrząc na transformatę Laplace’a funkcji $f(t)$ jako transformatę Fouriera funkcji $f(t)e^{-alfa t}$, gdzie $alfa=mathrm{Re}(s)$, myślę, że można sobie z tym poradzić tylko w kontekście dystorsji, gdy $alfa=0$. W przeciwnym razie moglibyśmy znaleźć funkcję testową $phi(t)$, która maleje wykładniczo i w ten sposób parowanie $langle 1 ^{-alfa t}, ^phi(t)^rangle ^; ^forall ^alfa ^neq 0$ daje całkę po stałej funkcji, która nie będzie zbieżna. Ale jeśli region zbieżności jest tylko osią urojoną, nie możemy ocenić całki w odwrotnej transformacie Laplace’a (ale nie mogę naprawdę powiedzieć, dlaczego. Jest to raczej przeczucie).
Czekam na oświecające odpowiedzi, dlaczego nie możemy znaleźć dwustronnej transformaty Laplace’a stałej funkcji.
Edit: W notatkach z mojej klasy Signals & Systems argumentowano, że byłoby to to samo, co suma transformat zwykłej i odbitej funkcji krokowej. Wynikowy region zbieżności jest unią obu regionów, ale nie pokrywają się one, ponieważ są to odpowiednio lewa półpłaszczyzna i prawa półpłaszczyzna. Stąd, dwustronna transformata funkcji stałej nie może istnieć. Ale dlaczego to wyklucza użycie rozkładów?
.