Aplikací teorie grup je mnoho. Téměř všechny struktury v abstraktní algebře jsou speciálními případy grup. Například na kruhy lze pohlížet jako na abelovské grupy (odpovídající sčítání) spolu s druhou operací (odpovídající násobení). Proto jsou argumenty teorie grup základem velké části teorie těchto entit.
Galoisova teorieUpravit
Galoisova teorie využívá grupy k popisu symetrií kořenů polynomu (přesněji automorfismů algeber generovaných těmito kořeny). Základní věta Galoisovy teorie poskytuje spojení mezi rozšířeními algebraických polí a teorií grup. Poskytuje účinné kritérium řešitelnosti polynomiálních rovnic z hlediska řešitelnosti příslušné Galoisovy grupy. Například S5, symetrická grupa o 5 prvcích, není řešitelná, z čehož vyplývá, že obecnou kvintovou rovnici nelze řešit radikály tak, jak lze řešit rovnice nižšího stupně. Tato teorie, která je jedním z historických kořenů teorie grup, se stále plodně uplatňuje a přináší nové výsledky v oblastech, jako je teorie třídních polí.
Algebraická topologieEdit
Algebraická topologie je další oblastí, která výrazně spojuje grupy s objekty, které teorii zajímají. Tam se grupy používají k popisu určitých invariantů topologických prostorů. Nazývají se „invarianty“, protože jsou definovány tak, že se nemění, pokud je prostor vystaven nějaké deformaci. Například fundamentální grupa „počítá“, kolik cest v prostoru je v podstatě odlišných. Významnou aplikací této myšlenky je Poincarého domněnka, kterou v letech 2002/2003 dokázal Grigori Perelman. Tento vliv však není jednosměrný. Například algebraická topologie využívá Eilenbergovy-MacLaneovy prostory, což jsou prostory s předepsanými homotopickými grupami. Podobně algebraická K-teorie se svým způsobem opírá o klasifikační prostory grup. Konečně název torzní podgrupy nekonečné grupy ukazuje odkaz topologie v teorii grup.
Algebraická geometrieUpravit
Algebraická geometrie také v mnoha ohledech využívá teorii grup. Výše byly představeny abelovské variety. Přítomnost grupové operace přináší další informace, které činí tyto variety obzvláště přístupnými. Často také slouží jako test pro nové domněnky. Zvláště podrobně je studován jednorozměrný případ, konkrétně eliptické křivky. Jsou teoreticky i prakticky zajímavé. V jiném směru jsou torické variety algebraickými varietami, na které působí torus. Toroidální vnoření vedla v poslední době k pokroku v algebraické geometrii, zejména k řešení singularit.
Algebraická teorie číselEdit
Algebraická teorie čísel využívá grupy pro některé důležité aplikace. Například Eulerův vzorec pro součin,
∑ n ≥ 1 1 n s = ∏ p prime 1 1 – p – s , {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{s}}}&=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}},\\\end{aligned}}}!
vystihuje skutečnost, že každé celé číslo se rozkládá jedinečným způsobem na prvočísla. Neúspěch tohoto tvrzení pro obecnější kruhy dává vzniknout třídním grupám a regulárním prvočíslům, které se objevují v Kummerově pojednání o Fermatově poslední větě.
Harmonická analýzaEdit
Analýza Lieových grup a některých dalších grup se nazývá harmonická analýza. Haarovy míry, tj. integrály invariantní při translaci v Lieově grupě, se používají pro rozpoznávání vzorů a další techniky zpracování obrazu.
KombinatorikaEdit
V kombinatorice se často používá pojem permutační grupy a pojem grupové akce pro zjednodušení počítání množiny objektů; viz zejména Burnsideovo lemma.
MusicEdit
Přítomnost 12-periodicity v kruhu kvint přináší aplikace elementární teorie grup v hudební teorii množin. Teorie transformací modeluje hudební transformace jako prvky matematické grupy.
PhysicsEdit
Ve fyzice jsou grupy důležité, protože popisují symetrie, kterým se fyzikální zákony zdánlivě podřizují. Podle Noetherovy věty odpovídá každá spojitá symetrie fyzikálního systému zákonu zachování systému. Fyziky velmi zajímají reprezentace grup, zejména Lieových grup, protože tyto reprezentace často ukazují cestu k „možným“ fyzikálním teoriím. Příkladem použití grup ve fyzice je standardní model, gauge teorie, Lorentzova grupa a Poincarého grupa.
Chemie a nauka o materiálechEdit
V chemii a nauce o materiálech se bodové grupy používají ke klasifikaci pravidelných mnohostěnů a symetrií molekul a prostorové grupy ke klasifikaci krystalových struktur. Přiřazené skupiny pak lze použít k určení fyzikálních vlastností (například chemické polarity a chirality), spektroskopických vlastností (zejména užitečných pro Ramanovu spektroskopii, infračervenou spektroskopii, spektroskopii kruhového dichroismu, spektroskopii magnetického kruhového dichroismu, UV/Vis spektroskopii a fluorescenční spektroskopii) a ke konstrukci molekulových orbitalů.
Molekulová symetrie je zodpovědná za mnoho fyzikálních a spektroskopických vlastností sloučenin a poskytuje důležité informace o tom, jak probíhají chemické reakce. Aby bylo možné přiřadit bodovou skupinu pro jakoukoli danou molekulu, je nutné zjistit soubor operací symetrie, které jsou na ní přítomny. Operace symetrie je děj, jako je otáčení kolem osy nebo odraz přes zrcadlovou rovinu. Jinými slovy, je to operace, která pohybuje molekulou tak, že je k nerozeznání od původní konfigurace. V teorii grup se osy otáčení a zrcadlové roviny nazývají „prvky symetrie“. Těmito prvky může být bod, přímka nebo rovina, vzhledem k níž se provádí operace symetrie. Operace symetrie molekuly určují konkrétní bodovou skupinu pro tuto molekulu.
V chemii existuje pět důležitých operací symetrie. Jsou to operace identity (E), operace rotace neboli správné rotace (Cn), operace odrazu (σ), operace inverze (i) a operace odrazu rotace neboli nesprávné rotace (Sn). Operace identity (E) spočívá v tom, že se molekula ponechá taková, jaká je. To je ekvivalentní libovolnému počtu úplných rotací kolem libovolné osy. Jedná se o symetrii všech molekul, zatímco skupina symetrií chirální molekuly se skládá pouze z operace identity. Identitní operace je charakteristická pro každou molekulu, i když nemá žádnou symetrii. Rotace kolem osy (Cn) spočívá v otáčení molekuly kolem určité osy o určitý úhel. Je to otáčení o úhel 360°/n, kde n je celé číslo, kolem osy otáčení. Pokud se například molekula vody otočí o 180° kolem osy, která prochází atomem kyslíku a mezi atomy vodíku, je ve stejné konfiguraci jako na začátku. V tomto případě je n = 2, protože dvojí použití vede k operaci identity. U molekul s více než jednou osou rotace je osa Cn s největší hodnotou n osou rotace nejvyššího řádu neboli hlavní osou. Například boran (BH3), nejvyšší řád rotační osy je C3, takže Hlavní rotační osa osy je C3.
Při operaci odrazu (σ) má mnoho molekul zrcadlové roviny, i když nemusí být zřejmé. Při operaci odrazu se vymění levá a pravá strana, jako by se každý bod pohyboval kolmo rovinou do polohy přesně tak daleko od roviny, jako když začínal. Pokud je rovina kolmá na hlavní osu otáčení, nazývá se σh (horizontální). Ostatní roviny, které obsahují hlavní osu otáčení, se označují jako vertikální (σv) nebo dihedrální (σd).
Inverze (i ) je složitější operace. Každý bod se přesune středem molekuly do polohy opačné k původní poloze a stejně daleko od středového bodu, jako byl na začátku. Mnoho molekul, které na první pohled vypadají, že mají inverzní střed, jej nemají; například metan a další tetraedrické molekuly postrádají inverzní symetrii. Chcete-li se o tom přesvědčit, podržte model metanu se dvěma atomy vodíku ve svislé rovině vpravo a dvěma atomy vodíku ve vodorovné rovině vlevo. Výsledkem inverze jsou dva atomy vodíku v horizontální rovině vpravo a dva atomy vodíku ve vertikální rovině vlevo. Inverze tedy není operací symetrie methanu, protože orientace molekuly po operaci inverze se liší od původní orientace. A poslední operací je nevhodná operace rotace nebo operace odrazu rotace (Sn) vyžaduje rotaci o 360°/n a následný odraz rovinou kolmou na osu rotace.
Statistická mechanikaEdit
Teorii grup lze použít k vyřešení neúplnosti statistické interpretace mechaniky vypracované Willardem Gibbsem, týkající se sčítání nekonečného počtu pravděpodobností pro získání smysluplného řešení.
KryptografieEdit
Velmi velké grupy prvočíselného řádu zkonstruované v kryptografii eliptických křivek slouží pro kryptografii veřejných klíčů. Kryptografické metody tohoto druhu těží z pružnosti geometrických objektů, tedy jejich grupových struktur, spolu s komplikovanou strukturou těchto grup, které velmi znesnadňují výpočet diskrétního logaritmu. Jeden z prvních šifrovacích protokolů, Caesarovu šifru, lze rovněž interpretovat jako (velmi snadnou) skupinovou operaci. Většina kryptografických schémat nějakým způsobem využívá grupy. Zejména Diffie-Hellmanova výměna klíčů používá konečné cyklické grupy. Termín skupinová kryptografie se tedy většinou vztahuje na kryptografické protokoly, které používají nekonečné neabelové grupy, jako je například opletená grupa.
.