Jeg har altid accepteret, at den bilaterale Laplace Transform af en konstant funktion $f(t) = c$ ikke eksisterer. Hvordan kunne følgende integral eventuelt konvergere,
$$$\mathcal{L}=\int\limits_\mathbb{R}ce^{-st}\,\mathrm{d}t\;?$$$
Derpå lærte jeg om fordelinger, og hvordan de er perfekte kandidater til at finde Fouriertransformationen af “problematiske” funktioner, for hvilke det er svært eller endog umuligt at evaluere det sædvanlige Fourierintegral. Her kan en konstant funktion transformeres og giver Dirac-impulsen $\delta(f)$, og ved dualitet gælder dette også i den anden retning.
Så Laplace-transformationen af en Dirac-impuls er let at finde ved at anvende sifting-egenskaben og definitionen af Dirac-impulsen:
$$\mathcal{L}=\int\limits_\mathbb{R}\delta(t)e^{-st}\,\mathrm{d}t=\int\limits_\mathbb{R}\delta(t)\underbrace{e^{-s\cdot0}}_{=1}\,\mathrm{d}t=1.$$
Nu undrede jeg mig over, hvorfor følgende ikke holder,
$$$\mathathcal{L}=\delta(s).$$
Jeg slog op i et par artikler og foredrag om Laplace-transformationen af fordelinger, men ingen steder fandt jeg en begrundelse for, hvorfor dette ikke er sandt (jeg kan dog have overset det).Jeg forsøgte derefter at finde ud af, om $\delta(s)$ er defineret, men alle de kilder, jeg fandt, definerede domænet for både fordelinger og testfunktioner (lad os betragte Schwartz-funktioner) som den reelle linje eller delmængder heraf.
Jeg formoder, at der er en reaon, der forhindrer fordelinger i at blive defineret på det komplekse plan. Måske har det noget at gøre med kompleks integrering, men jeg er ikke sikker.
En anden grund, jeg tænkte på, er konvergensregionen. Når man betragter Laplace-transformationen af $f(t)$ som Fouriertransformationen af $f(t)e^{-\alpha t}$, hvor $\alpha=\mathrm{Re}(s)$, mener jeg, at dette kun kan behandles i forbindelse med distibutioner, når $\alpha=0$. Ellers kunne vi finde en testfunktion $\phi(t)$, som falder eksponentielt, og dermed giver parret $\langle 1\cdot e^{-\alpha t}, \phi(t)\rangle \; \forall \alpha \neq 0$ integralet over en konstant funktion, som ikke vil konvergere. Men hvis konvergensområdet kun er den imaginære akse, kan vi ikke evaluere integralet i den omvendte Laplace Transform (men jeg kan ikke rigtig sige, hvorfor. Det er snarere en mavefornemmelse).
Jeg ser frem til oplysende svar på, hvorfor vi ikke kan finde den bilaterale Laplace Transform af en konstant funktion.
Rediger: I noterne til mit kursus i Signaler & Systemer blev det fremført, at det ville være det samme som summen af transformationerne af en sædvanlig og en reflekteret trinfunktion. Den resulterende konvergensregion er foreningen af de to regioner, men de overlapper ikke hinanden, da disse er henholdsvis venstre halvplan og højre halvplan. Derfor kan den bilaterale transformation af en konstant funktion ikke eksistere. Men hvorfor udelukker dette brugen af fordelinger?