Ryhmäteorian sovelluksia on runsaasti. Lähes kaikki abstraktin algebran rakenteet ovat ryhmien erikoistapauksia. Esimerkiksi renkaat voidaan nähdä abeliaanisina ryhminä (jotka vastaavat yhteenlaskua) yhdessä toisen operaation (joka vastaa kertolaskua) kanssa. Siksi ryhmäteoreettiset argumentit ovat suurten osien näiden kokonaisuuksien teorian taustalla.
Galois-teoriaEdit
Galois-teoria käyttää ryhmiä kuvaamaan polynomin juurien symmetrioita (tai tarkemmin sanottuna näiden juurien tuottamien algebrojen automorfismeja). Galois-teorian perusteoria tarjoaa yhteyden algebralaisten kenttälaajennusten ja ryhmäteorian välille. Se antaa tehokkaan kriteerin polynomiyhtälöiden ratkaistavuudelle vastaavan Galois-ryhmän ratkaistavuuden kannalta. Esimerkiksi viiden alkion symmetrinen ryhmä S5 ei ole ratkaistavissa, mikä tarkoittaa, että yleistä kvinttiyhtälöä ei voida ratkaista radikaalien avulla samalla tavalla kuin alemman asteen yhtälöitä voidaan ratkaista. Teoriaa, joka on yksi ryhmäteorian historiallisista juurista, sovelletaan edelleen hedelmällisesti tuottamaan uusia tuloksia esimerkiksi luokkakenttäteorian kaltaisilla aloilla.
Algebrallinen topologiaMuokkaa
Algebrallinen topologia on toinen alue, joka liittää näkyvästi ryhmiä niihin kohteisiin, joista teoria on kiinnostunut. Siellä ryhmiä käytetään kuvaamaan tiettyjä topologisten avaruuksien invariantteja. Niitä kutsutaan ”invarianteiksi”, koska ne määritellään siten, että ne eivät muutu, jos avaruuteen kohdistuu jokin muodonmuutos. Esimerkiksi perusryhmä ”laskee”, kuinka monta polkua avaruudessa on olennaisesti erilaisia. Poincaré-konjektuuri, jonka Grigori Perelman todisti vuosina 2002/2003, on merkittävä sovellus tästä ajatuksesta. Vaikutus ei kuitenkaan ole yksisuuntainen. Esimerkiksi algebrallisessa topologiassa käytetään Eilenberg-MacLane-avaruuksia, jotka ovat avaruuksia, joilla on määrätyt homotopiaryhmät. Samoin algebrallinen K-teoria tukeutuu tavallaan ryhmien luokitteluavaruuksiin. Lopuksi äärettömän ryhmän vääntöalaryhmän nimi osoittaa topologian perintöä ryhmäteoriassa.
Algebrallinen geometriaMuokkaa
Algebrallinen geometria käyttää niin ikään monin tavoin ryhmäteoriaa. Abeeliset lajikkeet on esitelty edellä. Ryhmäoperaation läsnäolo tuottaa lisätietoa, joka tekee näistä lajikkeista erityisen helppokäyttöisiä. Niitä käytetään usein myös uusien arvausten testaamiseen. Yksiulotteista tapausta eli elliptisiä käyriä tutkitaan erityisen yksityiskohtaisesti. Ne ovat sekä teoreettisesti että käytännöllisesti kiehtovia. Toisessa suunnassa toriset lajikkeet ovat algebrallisia lajikkeita, joihin vaikuttaa torus. Toroidiset upotukset ovat viime aikoina johtaneet edistysaskeliin algebrallisessa geometriassa, erityisesti singulariteettien ratkaisemisessa.
Algebrallinen lukuteoria Muokkaa
Algebrallinen lukuteoria käyttää ryhmiä joissakin tärkeissä sovelluksissa. Esimerkiksi Eulerin tuotteen kaava,
∑ n ≥ 1 1 n s = ∏ p prime 1 1 – p – s , {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{s}}}}&=\prod _{p{{³”tekst{³”a} prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}{³”prod _{p{³”a prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}{1}}{1-p^{-s}}}{³”\\\\\\\\_loppu{aligned}}\!}
kaappaa sen tosiasian, että mikä tahansa kokonaisluku hajoaa yksikäsitteisesti alkulukuihin. Tämän väitteen kariutuminen yleisempiin renkaisiin synnyttää luokkaryhmät ja säännölliset alkuluvut, jotka esiintyvät Kummerin käsittelyssä Fermat’n viimeisestä lauseesta.
Harmoninen analyysiMuokkaa
Lie-ryhmien ja tiettyjen muiden ryhmien analyysia kutsutaan harmoniseksi analyysiksi. Haar-mittoja eli Lie-ryhmässä käännöksen alla invariantteja integraaleja käytetään hahmontunnistuksessa ja muissa kuvankäsittelytekniikoissa.
Kombinatoriikka Muokkaa
Kombinatoriikassa permutaatioryhmän käsitettä ja ryhmätoiminnan käsitettä käytetään usein yksinkertaistamaan objektien joukon laskentaa; ks. erityisesti Burnsiden lemma.
MusicEdit
Musiikillisessa joukko-opissa alkeisryhmäteorian sovellutuksia saadaan 12-periodisuuden läsnäolosta. Transformaatioteoria mallintaa musiikilliset transformaatiot matemaattisen ryhmän alkuaineina.
PhysicsEdit
Fysiikassa ryhmät ovat tärkeitä, koska ne kuvaavat symmetrioita, joita fysiikan lait näyttävät noudattavan. Noetherin lauseen mukaan fysikaalisen systeemin jokainen jatkuva symmetria vastaa systeemin säilymislakia. Fyysikot ovat hyvin kiinnostuneita ryhmäesityksistä, erityisesti Lie-ryhmistä, koska nämä esitykset osoittavat usein tien ”mahdollisiin” fysikaalisiin teorioihin. Esimerkkejä ryhmien käytöstä fysiikassa ovat Standardimalli, mittateoria, Lorentz-ryhmä ja Poincaré-ryhmä.
Kemia ja materiaalitiedeKorjaus
Kemiassa ja materiaalitieteessä pistemäisiä ryhmiä käytetään säännöllisten polyedereiden ja molekyylien symmetrioiden luokitteluun ja avaruusryhmiä kiderakenteiden luokitteluun. Määritettyjä ryhmiä voidaan sitten käyttää fysikaalisten ominaisuuksien (kuten kemiallisen polariteetin ja kiraalisuuden), spektroskooppisten ominaisuuksien (erityisen hyödyllisiä Raman-spektroskopiassa, infrapunaspektroskopiassa, sirkulaaridikroismispektroskopiassa, magneettisessa sirkulaaridikroismispektroskopiassa, UV/Vis-spektroskopiassa ja fluoresenssispektroskopiassa) määrittämiseen ja molekyyliorbitaalien konstruoimiseen.
Molekyylin symmetria vastaa monista yhdisteiden fysikaalisista ja spektrospektrospektroskopisista ominaisuuksista, ja se tarjoaa relevanttia informaatiota kemiallisten reaktioiden tapahtumisesta. Jotta jollekin tietylle molekyylille voidaan määrittää pisteryhmä, on löydettävä molekyylissä esiintyvien symmetriaoperaatioiden joukko. Symmetriaoperaatio on jokin toimenpide, kuten pyöriminen jonkin akselin ympäri tai heijastuminen peilitason läpi. Toisin sanoen se on operaatio, joka siirtää molekyyliä siten, että sitä ei voi erottaa alkuperäisestä konfiguraatiosta. Ryhmäteoriassa kiertoakseleita ja peilitasoja kutsutaan ”symmetriaelementeiksi”. Nämä elementit voivat olla piste, viiva tai taso, jonka suhteen symmetriaoperaatio suoritetaan. Molekyylin symmetriaoperaatiot määräävät kyseisen molekyylin tietyn pisteryhmän.
Kemiassa on viisi tärkeää symmetriaoperaatiota. Ne ovat identiteetti-operaatio (E), rotaatio-operaatio eli oikea kierto (Cn), heijastusoperaatio (σ), inversio (i) ja rotaatioheijastusoperaatio eli epäsäännöllinen kierto (Sn). Identiteetti-operaatiossa (E) molekyyli jätetään sellaisenaan. Tämä vastaa mitä tahansa määrää täydellisiä kiertoja minkä tahansa akselin ympäri. Tämä on kaikkien molekyylien symmetria, kun taas kiraalisen molekyylin symmetriaryhmä koostuu vain identtisyysoperaatiosta. Identiteettioperaatio on jokaisen molekyylin ominaisuus, vaikka sillä ei olisi symmetriaa. Pyöriminen akselin ympäri (Cn) koostuu molekyylin pyörimisestä tietyn akselin ympäri tietyllä kulmalla. Se on pyöriminen kulman 360°/n, jossa n on kokonaisluku, kautta pyörimisakselin ympäri. Jos esimerkiksi vesimolekyyli kiertyy 180° akselin ympäri, joka kulkee happiatomin läpi ja vetyatomien välistä, se on samassa kokoonpanossa kuin se aloitti. Tässä tapauksessa n = 2, koska kahdesti soveltamalla sitä saadaan identtisyysoperaatio. Molekyyleissä, joissa on useampi kuin yksi kiertoakseli, Cn-akseli, jonka n-arvo on suurin, on korkeimman järjestyksen kiertoakseli tai pääakseli. Esimerkiksi booraanin (BH3) korkeimman kertaluvun rotaatioakseli on C3, joten akselin päärotaatioakseli on C3.
Heijastusoperaatiossa (σ) monilla molekyyleillä on peilitasoja, vaikka ne eivät välttämättä olekaan ilmeisiä. Heijastusoperaatiossa vaihdetaan vasemmalle ja oikealle, ikään kuin jokainen piste olisi siirtynyt kohtisuoraan tason läpi täsmälleen yhtä kauas tasosta kuin aloittaessaan. Kun taso on kohtisuorassa pääkiertoakseliin nähden, sitä kutsutaan σh (horisontaalinen). Muita tasoja, jotka sisältävät pääkiertoakselin, nimitetään pystysuoriksi (σv) tai kaksipuolisiksi (σd).
Inversio (i ) on monimutkaisempi operaatio. Jokainen piste siirtyy molekyylin keskipisteen kautta alkuperäistä sijaintia vastakkaiseen asentoon ja yhtä kauas keskipisteestä kuin mistä se lähti liikkeelle. Monilla molekyyleillä, joilla ensi näkemältä näyttää olevan inversiokeskus, ei ole; esimerkiksi metaanilta ja muilta tetraedrimolekyyleiltä puuttuu inversiosymmetria. Voit nähdä tämän pitämällä metaanimallia, jossa kaksi vetyatomia on pystytasossa oikealla ja kaksi vetyatomia vaakatasossa vasemmalla. Inversio johtaa siihen, että kaksi vetyatomia on vaakatasossa oikealla ja kaksi vetyatomia pystytasossa vasemmalla. Inversio ei siis ole metaanin symmetriaoperaatio, koska molekyylin orientaatio inversio-operaation jälkeen poikkeaa alkuperäisestä orientaatiosta. Viimeinen operaatio on epätarkoituksenmukainen rotaatio- tai rotaatioheijastusoperaatio (Sn), joka edellyttää 360°/n:n rotaatiota ja sen jälkeen heijastusta tason kautta, joka on kohtisuorassa rotaatioakselia vastaan.
Tilastollinen mekaniikkaEdit
Ryhmäteorian avulla voidaan ratkaista Willard Gibbsin kehittämän mekaniikan tilastollisen tulkinnan epätäydellisyys, joka liittyy äärettömän määrän todennäköisyyksien yhteenlaskemiseen mielekkään ratkaisun saamiseksi.
KryptografiaEdit
Elliptisen käyrän kryptografiassa konstruoidut, erittäin suuret alkulukujärjestyksen ryhmät palvelevat julkisten avainten kryptografiaa. Tällaiset kryptografiset menetelmät hyötyvät geometristen objektien, siis niiden ryhmärakenteiden, joustavuudesta yhdessä näiden ryhmien monimutkaisen rakenteen kanssa, mikä tekee diskreetin logaritmin laskemisesta hyvin vaikeaa. Yksi varhaisimmista salausprotokollista, Caesarin salakirjoitus, voidaan myös tulkita (hyvin helpoksi) ryhmäoperaatioksi. Useimmat salausmenetelmät käyttävät ryhmiä jollakin tavalla. Erityisesti Diffie-Hellmanin avainvaihto käyttää äärellisiä syklisiä ryhmiä. Termi ryhmäpohjainen salakirjoitus viittaa siis useimmiten salakirjoitusprotokolliin, jotka käyttävät äärettömiä ei-abelialaisia ryhmiä, kuten punosryhmää.
