La identidad de Euler es una igualdad encontrada en matemáticas que ha sido comparada con un soneto de Shakespeare y descrita como «la ecuación más bella». Es un caso especial de una ecuación fundacional en aritmética compleja llamada Fórmula de Euler, que el difunto gran físico Richard Feynman llamó en sus conferencias «nuestra joya» y «la fórmula más notable de las matemáticas.»
En una entrevista con la BBC, el profesor David Percy, del Instituto de Matemáticas y sus Aplicaciones, dijo que la Identidad de Euler era «un verdadero clásico y no se puede hacer nada mejor que eso… Es simple de ver y, sin embargo, increíblemente profunda, comprende las cinco constantes matemáticas más importantes.»
La Identidad de Euler se escribe simplemente como: eiπ + 1 = 0
Las cinco constantes son:
- El número 0.
- El número 1.
- El número π, un número irracional (con dígitos interminables) que es el cociente entre la circunferencia de un círculo y su diámetro. Es aproximadamente 3,14159…
- El número e, también un número irracional. Es la base de los logaritmos naturales que surge de forma natural al estudiar el interés compuesto y el cálculo. El número e impregna las matemáticas, apareciendo aparentemente de la nada en un gran número de ecuaciones importantes. Es aproximadamente 2,71828….
- El número i, definido como la raíz cuadrada de uno negativo: √(-1). El más fundamental de los números imaginarios, llamado así porque, en realidad, ningún número puede multiplicarse por sí mismo para producir un número negativo (y, por tanto, los números negativos no tienen raíces cuadradas reales). Pero en matemáticas, hay muchas situaciones en las que uno se ve obligado a sacar la raíz cuadrada de un negativo. Por lo tanto, la letra i se utiliza como una especie de sustituto para marcar los lugares en los que se hizo esto.
Matemático prolífico
Leonhard Euler fue un matemático nacido en Suiza en el siglo XVIII que desarrolló muchos conceptos que son parte integral de las matemáticas modernas. Pasó la mayor parte de su carrera en San Petersburgo, Rusia. Fue uno de los matemáticos más prolíficos de todos los tiempos, según la Academia Naval de Estados Unidos (USNA), con 886 artículos y libros publicados. Gran parte de su producción se produjo durante las dos últimas décadas de su vida, cuando estaba totalmente ciego. Fue tanto su trabajo que la Academia de San Petersburgo continuó publicando su obra de forma póstuma durante más de 30 años.
Las contribuciones importantes de Euler incluyen la Fórmula de Euler y el Teorema de Euler, que pueden significar cosas diferentes según el contexto. Según la USNA, en mecánica, existen «los ángulos de Euler (para especificar la orientación de un cuerpo rígido), el teorema de Euler (que toda rotación tiene un eje), las ecuaciones de Euler para el movimiento de los fluidos y la ecuación de Euler-Lagrange (que proviene del cálculo de variaciones).»
Multiplicación de números complejos
La Identidad de Euler surge naturalmente de las interacciones de los números complejos que son números compuestos de dos piezas: un número real y un número imaginario; un ejemplo es 4+3i. Los números complejos aparecen en multitud de aplicaciones, como la mecánica ondulatoria (un estudio dentro de la mecánica cuántica) y el diseño de circuitos que utilizan corriente alterna (una práctica habitual en ingeniería eléctrica). Además, los números complejos (y sus primos, los números hipercomplejos) tienen una propiedad que los hace especialmente útiles para el estudio de los gráficos por ordenador, la robótica, la navegación, la dinámica de vuelo y la mecánica orbital: multiplicarlos entre sí hace que giren. Esta propiedad nos ayudará a entender el razonamiento que hay detrás de la Identidad de Euler.
En el siguiente ejemplo, cinco números complejos se trazan en el plano complejo y juntos forman una «forma de casa». El plano complejo es similar a una recta numérica, excepto que es bidimensional. La dirección horizontal representa los números reales y el eje vertical representa los números imaginarios. Cada número complejo en forma de casa se multiplica por el número complejo 4+3i y se vuelve a trazar (flecha verde).
Como se puede ver, al multiplicar por 4+3i la forma de la casa se dilata (aumenta su área y se aleja del origen 0+0i en la misma cantidad) y gira (se inclina en algún ángulo). Para mostrar que éste es precisamente el efecto de multiplicar por 4+3i, se muestra también el efecto de ampliar la casa cinco veces y girar 36,9 grados (flecha roja). Se produce exactamente el mismo efecto.
Diferentes cantidades de dilatación y rotación pueden producir los efectos de multiplicar por cualquier número en el plano complejo.
Forma polar de los números complejos
La cantidad de rotación y dilatación viene determinada por propiedades intrínsecas al número 4+3i, que, como se ve en la figura siguiente, está a cinco unidades del origen (r = 5) y forma un ángulo de 36,9 grados con el eje horizontal (φ = 36,9°). Estas medidas se utilizan en lo que se conoce como la forma polar de un número complejo (reiφ) en contraposición a la forma rectangular normal (a+bi).
La forma polar requiere que φ se mida en radianes. Un radián (1rad) es aproximadamente 57,3 grados; es la medida del ángulo que se forma cuando el radio de un círculo se envuelve contra la circunferencia de ese círculo. Una medida de π radianes envuelve la mitad de un círculo; una medida de 2π radianes envuelve un círculo completo.
La medida del ángulo para 4+3i es 0,644 radianes (36,9° = 0,644rad) lo que significa que la forma polar de 4+3i es 5ei0,644. También se pueden determinar las medidas de r y φ para cada uno de los puntos en forma de casa, y otra forma de conseguir el efecto de dilatación/rotación de la multiplicación por 4+3i es multiplicar cada r por cinco, y añadir 36,9 grados (o 0,644rad) a cada φ. A partir de esta demostración, vemos que cuando se multiplican los números complejos, las distancias se multiplican y los ángulos se suman. Esto se debe a una propiedad intrínseca de los exponentes, que puede demostrarse algebraicamente.
Una vez establecida la forma polar de los números complejos, el asunto de la Identidad de Euler es simplemente un caso especial de a+bi para a = -1 y b = 0. En consecuencia, para la forma polar reiφ, esto hace que r= 1 y φ = π (ya que πrad = 180°).
Derivación de la forma polar
Aunque la Identidad de Euler se desprende de la forma polar de los números complejos, es imposible derivar la forma polar (en particular la aparición espontánea del número e) sin cálculo.
Empezamos con la forma rectangular de un número complejo:
a + bi
A partir del diagrama y la trigonometría, podemos hacer las siguientes sustituciones:
(r-cosφ) + (r-sinφ)i
A partir de aquí podemos factorizar r:
r-(cosφ + i-sinφ)
A veces «cosφ + i-sinφ» se denomina cisφ, que es la abreviatura de «coseno más seno imaginario.»
r-cisφ
La función cisφ resulta ser igual a eiφ. Esta es la parte que es imposible de mostrar sin el cálculo. A continuación se muestran dos derivaciones:
Así, la ecuación r-cisφ se escribe en la forma polar estándar r-eiφ.