Toepassingen van de groepentheorie zijn er in overvloed. Bijna alle structuren in de abstracte algebra zijn speciale gevallen van groepen. Ringen, bijvoorbeeld, kunnen worden beschouwd als abelische groepen (overeenkomend met optellen) met een tweede operatie (overeenkomend met vermenigvuldigen). Daarom liggen groepentheoretische argumenten ten grondslag aan grote delen van de theorie van deze entiteiten.
GaloistheorieEdit
Galoistheorie gebruikt groepen om de symmetrieën van de wortels van een polynoom te beschrijven (of nauwkeuriger: de automorfismen van de algebra’s die door deze wortels worden voortgebracht). De fundamentele stelling van de Galoistheorie legt een verband tussen algebraïsche veldextensies en groepentheorie. Zij geeft een doeltreffend criterium voor de oplosbaarheid van polynomiale vergelijkingen in termen van de oplosbaarheid van de overeenkomstige Galoisgroep. Bijvoorbeeld, S5, de symmetrische groep in 5 elementen, is niet oplosbaar wat impliceert dat de algemene quintische vergelijking niet kan opgelost worden door radikalen op de manier waarop vergelijkingen van lagere graad dat kunnen. De theorie, die een van de historische wortels van de groepentheorie is, wordt nog steeds vruchtbaar toegepast om nieuwe resultaten op te leveren op gebieden als de klassenveldentheorie.
Algebraïsche topologieEdit
Algebraïsche topologie is een ander domein waarin groepen prominent geassocieerd worden met de objecten waarin de theorie geïnteresseerd is. Daar worden groepen gebruikt om bepaalde invarianten van topologische ruimten te beschrijven. Zij worden “invarianten” genoemd omdat zij zo gedefinieerd zijn dat zij niet veranderen als de ruimte aan een bepaalde vervorming wordt onderworpen. De fundamentaalgroep bijvoorbeeld “telt” hoeveel paden in de ruimte wezenlijk verschillend zijn. De conjectuur van Poincaré, in 2002/2003 bewezen door Grigori Perelman, is een prominente toepassing van dit idee. De invloed is echter niet unidirectioneel. Zo maakt de algebraïsche topologie gebruik van Eilenberg-MacLane ruimten die ruimten zijn met voorgeschreven homotopiegroepen. Evenzo steunt de algebraïsche K-theorie in zekere zin op classificatieruimten van groepen. Tenslotte toont de naam van de torsieondergroep van een oneindige groep de erfenis van de topologie in de groepentheorie.
Algebraïsche meetkundeEdit
Algebraïsche meetkunde maakt eveneens op vele manieren gebruik van groepentheorie. Abeliaanse variëteiten zijn hierboven geïntroduceerd. De aanwezigheid van de groepsoperatie levert extra informatie op die deze variëteiten bijzonder toegankelijk maakt. Ze dienen ook vaak als test voor nieuwe vermoedens. Het eendimensionale geval, namelijk elliptische krommen, wordt bijzonder gedetailleerd bestudeerd. Zij zijn zowel theoretisch als praktisch intrigerend. In een andere richting zijn torische variëteiten algebraïsche variëteiten waarop door een torus wordt ingewerkt. Toroïdale inbeddingen hebben recentelijk geleid tot vooruitgang in de algebraïsche meetkunde, in het bijzonder het oplossen van singulariteiten.
Algebraïsche getaltheorieEdit
Algebraïsche getaltheorie maakt voor enkele belangrijke toepassingen gebruik van groepen. Bijvoorbeeld de productformule van Euler,
∑ n ≥ 1 1 n s = ∏ p priem 1 1 – p – s , {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{s}}}&=\prod _{p{text{priem}}{\frac {1}{1-p^{-s}}},\end{aligned}}
bevat het feit dat elk geheel getal op een unieke manier in priemgetallen uiteenvalt. Het falen van deze stelling voor meer algemene ringen geeft aanleiding tot klassegroepen en regelmatige priemgetallen, die voorkomen in Kummer’s behandeling van de Laatste Stelling van Fermat.
Harmonische analyseEdit
Analyse op Lie groepen en bepaalde andere groepen wordt harmonische analyse genoemd. Haar maten, dat wil zeggen integralen invariant onder de translatie in een Lie-groep, worden gebruikt voor patroonherkenning en andere beeldverwerkingstechnieken.
CombinatoriekEdit
In de combinatoriek worden het begrip permutatiegroep en het begrip groepsactie vaak gebruikt om het tellen van een verzameling objecten te vereenvoudigen; zie in het bijzonder het lemma van Burnside.
MusicEdit
De aanwezigheid van de 12-periodiciteit in de kwintencirkel levert toepassingen van de elementaire groepentheorie in de muzikale verzamelingenleer op. Transformatietheorie modelleert muzikale transformaties als elementen van een wiskundige groep.
PhysicsEdit
In de fysica zijn groepen belangrijk omdat zij de symmetrieën beschrijven waaraan de wetten van de fysica lijken te gehoorzamen. Volgens de stelling van Noether komt elke continue symmetrie van een fysisch systeem overeen met een behoudswet van het systeem. Natuurkundigen zijn zeer geïnteresseerd in groepsvoorstellingen, vooral van Lie-groepen, omdat deze voorstellingen vaak de weg wijzen naar de “mogelijke” natuurkundige theorieën. Voorbeelden van het gebruik van groepen in de natuurkunde zijn het Standaardmodel, de ijklijntheorie, de Lorentz-groep en de Poincaré-groep.
Chemie en materiaalkundeEdit
In de chemie en materiaalkunde worden puntgroepen gebruikt om regelmatige veelvlakken en de symmetrieën van moleculen te classificeren, en ruimtegroepen om kristalstructuren te classificeren. De toegewezen groepen kunnen vervolgens worden gebruikt om fysische eigenschappen (zoals chemische polariteit en chiraliteit), spectroscopische eigenschappen (vooral nuttig voor Raman spectroscopie, infrarood spectroscopie, circulair dichroïsme spectroscopie, magnetisch circulair dichroïsme spectroscopie, UV/Vis spectroscopie, en fluorescentie spectroscopie) te bepalen, en om moleculaire orbitalen te construeren.
Moleculaire symmetrie is verantwoordelijk voor veel fysische en spectroscopische eigenschappen van verbindingen en verschaft relevante informatie over hoe chemische reacties verlopen. Om aan een gegeven molecuul een puntgroep toe te kennen, moet worden nagegaan welke symmetrieoperaties er op het molecuul aanwezig zijn. De symmetriebewerking is een actie, zoals een draaiing om een as of een spiegeling door een spiegelvlak. Met andere woorden, het is een bewerking die het molecuul zodanig verplaatst dat het niet meer te onderscheiden is van de oorspronkelijke configuratie. In de groepentheorie worden de rotatie-assen en spiegelvlakken “symmetrie-elementen” genoemd. Deze elementen kunnen een punt, lijn of vlak zijn ten opzichte waarvan de symmetriebewerking wordt uitgevoerd. De symmetrieoperaties van een molecuul bepalen de specifieke puntgroep voor dit molecuul.
In de chemie zijn er vijf belangrijke symmetrieoperaties. Het zijn de identiteitsoperatie (E), de rotatieoperatie of juiste rotatie (Cn), de reflectieoperatie (σ), de inversie (i) en de rotatie-reflectieoperatie of onjuiste rotatie (Sn). De identiteitsoperatie (E) bestaat erin het molecuul te laten zoals het is. Dit is equivalent aan een willekeurig aantal volledige rotaties om een willekeurige as. Dit is een symmetrie van alle moleculen, terwijl de symmetriegroep van een chiraal molecuul alleen uit de identiteitsoperatie bestaat. Een identiteitsoperatie is een eigenschap van elk molecuul, zelfs als het geen symmetrie heeft. Rotatie om een as (Cn) bestaat uit het roteren van het molecuul om een specifieke as met een specifieke hoek. Het is rotatie over de hoek 360°/n, waarbij n een geheel getal is, om een rotatie-as. Als een watermolecuul bijvoorbeeld 180° draait om de as die door het zuurstofatoom en tussen de waterstofatomen loopt, bevindt het zich in dezelfde configuratie als waarmee het is begonnen. In dit geval is n = 2, want tweemaal toepassen levert de identiteitsoperatie op. In moleculen met meer dan één rotatie-as is de Cn-as met de grootste waarde van n de rotatie-as van de hoogste orde of hoofdas. Bijvoorbeeld Boraan (BH3), de hoogste orde van rotatie-as is C3, dus hoofdrotatie-as van as is C3.
In de spiegeling-bewerking (σ) hebben veel moleculen spiegelvlakken, hoewel ze misschien niet duidelijk zijn. De spiegelingsoperatie verwisselt links en rechts, alsof elk punt loodrecht door het vlak is verplaatst naar een positie precies even ver van het vlak als toen het begon. Wanneer het vlak loodrecht op de hoofdas van de draaiing staat, wordt het σh (horizontaal) genoemd. Andere vlakken, die de hoofdas van de draaiing bevatten, worden aangeduid met verticaal (σv) of tweevlaks (σd).
Inversie (i ) is een complexere bewerking. Elk punt beweegt door het centrum van het molecuul naar een positie tegenovergesteld aan de oorspronkelijke positie en even ver van het centrale punt als waar het begon. Veel moleculen die op het eerste gezicht een inversiecentrum lijken te hebben, hebben dat niet; bijvoorbeeld methaan en andere tetrahedrale moleculen hebben geen inversiesymmetrie. Om dit te zien, houdt u een methaanmodel met twee waterstofatomen in het verticale vlak rechts en twee waterstofatomen in het horizontale vlak links. Inversie resulteert in twee waterstofatomen in het horizontale vlak rechts en twee waterstofatomen in het verticale vlak links. Inversie is dus geen symmetriebewerking van methaan, omdat de oriëntatie van het molecuul na de inversiebewerking verschilt van de oorspronkelijke oriëntatie. En de laatste operatie is oneigenlijke rotatie of rotatie-reflectie operatie (Sn) vereist een rotatie van 360°/n, gevolgd door reflectie door een vlak loodrecht op de rotatie-as.
Statistische mechanicaEdit
Groepentheorie kan worden gebruikt om de onvolledigheid op te lossen van de statistische interpretaties van mechanica ontwikkeld door Willard Gibbs, met betrekking tot de sommatie van een oneindig aantal waarschijnlijkheden om een zinvolle oplossing op te leveren.
CryptografieEdit
Zeer grote groepen van priemorde geconstrueerd in elliptische curve cryptografie dienen voor publieke-sleutel cryptografie. Dergelijke cryptografische methoden profiteren van de flexibiliteit van de geometrische objecten, vandaar hun groepsstructuren, samen met de ingewikkelde structuur van deze groepen, die de discrete logaritme zeer moeilijk te berekenen maken. Een van de vroegste encryptieprotocollen, het cijfer van Caesar, kan ook worden geïnterpreteerd als een (zeer gemakkelijke) groepsoperatie. De meeste cryptografische schema’s maken op de een of andere manier gebruik van groepen. Met name Diffie-Hellman sleuteluitwisseling maakt gebruik van eindige cyclische groepen. De term groepsgebaseerde cryptografie verwijst dus meestal naar cryptografische protocollen die gebruik maken van oneindige niet-abeliaanse groepen, zoals een vlechtgroep.
