De identiteit van Euler is een gelijkheid in de wiskunde die wel eens is vergeleken met een sonnet van Shakespeare en omschreven als “de mooiste vergelijking”. Het is een speciaal geval van een fundamentele vergelijking in de complexe rekenkunde, de Formule van Euler, die wijlen de grote natuurkundige Richard Feynman in zijn lezingen “ons juweel” en “de meest opmerkelijke formule in de wiskunde” noemde.
In een interview met de BBC zei prof. David Percy van het Institute of Mathematics and its Applications dat de Identiteit van Euler “een echte klassieker was en je kunt niet beter doen dan dat … Het is eenvoudig om naar te kijken en toch ongelooflijk diepgaand, het omvat de vijf belangrijkste wiskundige constanten.”
De Identiteit van Euler wordt eenvoudig geschreven als: eiπ + 1 = 0
De vijf constanten zijn:
- Het getal 0,
- Het getal 1,
- Het getal π, een irrationeel getal (met oneindig veel cijfers) dat de verhouding is tussen de omtrek van een cirkel en zijn diameter. Het is ongeveer 3,14159…
- Het getal e, ook een irrationaal getal. Het is de basis van natuurlijke logaritmen die op natuurlijke wijze ontstaan door studie van samengestelde interest en calculus. Het getal e is doorgedrongen in de wiskunde en verschijnt schijnbaar uit het niets in een groot aantal belangrijke vergelijkingen. Het is ongeveer 2,71828….
- Het getal i, gedefinieerd als de vierkantswortel van negatief één: √(-1). Het is de meest fundamentele van de imaginaire getallen, zo genoemd omdat in werkelijkheid geen enkel getal met zichzelf kan worden vermenigvuldigd om een negatief getal te produceren (en negatieve getallen dus geen echte vierkantswortels hebben). Maar in de wiskunde zijn er veel situaties waarin men gedwongen is de vierkantswortel van een negatief te nemen. De letter i wordt daarom gebruikt als een soort stand-in om plaatsen aan te geven waar dit is gedaan.
Wiskundige
Leonhard Euler was een 18e-eeuwse in Zwitserland geboren wiskundige die veel concepten heeft ontwikkeld die integraal zijn aan de moderne wiskunde. Hij bracht het grootste deel van zijn carrière door in St. Petersburg, Rusland. Petersburg, Rusland. Volgens de USNA (U.S. Naval Academy) was hij een van de meest productieve wiskundigen aller tijden, met 886 gepubliceerde artikelen en boeken. Een groot deel van zijn werk ontstond in de laatste twee decennia van zijn leven, toen hij volledig blind was. Er was zoveel werk dat de Academie van St. Petersburg zijn werk meer dan 30 jaar postuum bleef publiceren.
Eulers belangrijke bijdragen omvatten de Formule van Euler en de Stelling van Euler, die beide verschillende dingen kunnen betekenen, afhankelijk van de context. Volgens de USNA zijn er in de mechanica “Euler-hoeken (om de oriëntatie van een star lichaam aan te geven), de stelling van Euler (dat elke rotatie een as heeft), de vergelijkingen van Euler voor de beweging van vloeistoffen, en de vergelijking van Euler-Lagrange (die afkomstig is uit de calculus van variaties).”
Vermenigvuldigen van complexe getallen
De Identiteit van Euler komt op natuurlijke wijze voort uit interacties van complexe getallen, dat zijn getallen die zijn samengesteld uit twee delen: een reëel getal en een imaginair getal; een voorbeeld is 4+3i. Complexe getallen komen voor in een veelheid van toepassingen, zoals golfmechanica (een studie binnen de kwantummechanica) en het ontwerpen van schakelingen die gebruik maken van wisselstroom (een gebruikelijke praktijk in de elektrotechniek). Bovendien hebben complexe getallen (en hun neefjes, de hypercomplexe getallen) een eigenschap die ze bijzonder nuttig maakt voor het bestuderen van computergrafiek, robotica, navigatie, vluchtdynamica en baanmechanica: door ze met elkaar te vermenigvuldigen gaan ze roteren. Deze eigenschap zal ons helpen de redenering achter de Identiteit van Euler te begrijpen.
In het voorbeeld hieronder zijn vijf complexe getallen uitgezet op het complexe vlak en vormen ze samen een “huisvorm”. Het complexe vlak is vergelijkbaar met een getallenlijn, behalve dat het tweedimensionaal is. De horizontale richting stelt de reële getallen voor en de verticale as de imaginaire getallen. Elk complex getal in de vorm van een huis wordt vermenigvuldigd met het complexe getal 4+3i en opnieuw uitgezet (groene pijl).
Zoals men kan zien, heeft de vermenigvuldiging met 4+3i tot gevolg dat de huisvorm verwijdt (in oppervlakte toeneemt en zich even ver van de oorsprong 0+0i verwijdert) en roteert (over een bepaalde hoek scheef komt te staan). Om aan te tonen dat dit precies het effect is van vermenigvuldigen met 4+3i, wordt ook het effect getoond van vijf keer inzoomen op het huis en draaien met 36,9 graden (rode pijl).
Verschillende hoeveelheden dilatatie en rotatie kunnen het effect geven van vermenigvuldiging met een willekeurig getal op het complexe vlak.
Polaire vorm van complexe getallen
De mate van rotatie en dilatatie wordt bepaald door eigenschappen die eigen zijn aan het getal 4+3i, dat, zoals te zien is in onderstaande figuur, vijf eenheden van de oorsprong af ligt (r = 5) en een hoek van 36,9 graden vormt met de horizontale as (φ = 36,9°). Deze metingen worden gebruikt in wat men noemt de polaire vorm van een complex getal (reiφ) in tegenstelling tot de normale rechthoekige vorm (a+bi).
De polaire vorm vereist dat φ in radialen wordt gemeten. Eén radiaal (1rad) is ongeveer 57,3 graden; het is de maat voor de hoek die wordt gemaakt wanneer de straal van een cirkel tegen de omtrek van die cirkel wordt gewikkeld. Een maat van π radialen omhult een cirkel voor de helft; een maat van 2π radialen omhult een hele cirkel.
De hoekmaat voor 4+3i is 0,644 radialen (36,9° = 0,644rad), wat betekent dat de polaire vorm van 4+3i 5ei0,644 is. De maten voor r en φ kunnen ook worden bepaald voor elk van de punten van de huisvorm, en nog een andere manier om het verwijdende/roterende effect van de vermenigvuldiging met 4+3i te bereiken is door elke r met vijf te vermenigvuldigen, en 36,9 graden (of 0,644rad) bij elke φ op te tellen. Uit deze demonstratie blijkt dat wanneer complexe getallen met elkaar vermenigvuldigd worden, afstanden vermenigvuldigen en hoeken optellen. Dit is het gevolg van een intrinsieke eigenschap van exponenten, die algebraïsch kan worden aangetoond.
Met de poolvorm van complexe getallen vastgesteld, is de kwestie van de Identiteit van Euler slechts een speciaal geval van a+bi voor a = -1 en b = 0. Voor de poolvorm reiφ geldt dan r= 1 en φ = π (want πrad = 180°).
Afleiding van de poolvorm
Hoewel de Identiteit van Euler volgt uit de poolvorm van complexe getallen, is het onmogelijk om de poolvorm (in het bijzonder het spontaan verschijnen van het getal e) af te leiden zonder calculus.
We beginnen met de rechthoekige vorm van een complex getal:
a + bi
Vanuit het diagram en de goniometrie kunnen we de volgende substituties maken:
(r-cosφ) + (r-sinφ)i
Van hieruit kunnen we r ontbinden in factoren:
r-(cosφ + i-sinφ)
Soms wordt “cosφ + i-sinφ” cisφ genoemd, wat een afkorting is voor “cosinus plus imaginaire sinus.”
r-cisφ
De functie cisφ blijkt gelijk te zijn aan eiφ. Dit is het deel dat onmogelijk te laten zien is zonder calculus. Hieronder staan twee afleidingen:
Dus wordt de vergelijking r-cisφ geschreven in de standaard poolvorm r-eiφ.