Polynomials: Definitions & Evaluation

MathHelp.com

Aby wyrażenie było wyrażeniem wielomianowym, wszystkie zmienne w wyrażeniu muszą mieć potęgi liczb całkowitych (lub inaczej „rozumianą” potęgę 1, jak w x1, który jest zwykle zapisywany jako x). Zwykła liczba może być również wyrażeniem wielomianowym. W szczególności, aby wyrażenie było wyrażeniem wielomianowym, nie może zawierać pierwiastków kwadratowych ze zmiennych, żadnych ułamkowych lub ujemnych potęg na zmiennych i żadnych zmiennych w mianownikach jakichkolwiek ułamków. Oto kilka przykładów:

Terminologia

Aby utworzyć wielomian, bierze się kilka terminów i dodaje (lub odejmuje) je razem. Oto typowy wielomian:

Zwróć uwagę na wykładniki (czyli potęgi) każdego z trzech członów. Pierwszy termin ma wykładnik 2; drugi termin ma „zrozumiały” wykładnik 1 (który zwyczajowo nie jest uwzględniany); a ostatni termin nie ma żadnej zmiennej w ogóle, więc wykładniki nie są problemem. Ponieważ nie ma zmiennej w tym ostatnim terminie, jego wartość nigdy się nie zmienia, więc nazywa się go terminem „stałym”.

(Uwaga: Jeśli ktoś chciałby być bardzo techniczny, mógłby powiedzieć, że termin stały zawiera zmienną, ale zmienna jest w formie „x0”. Zmienna mająca potęgę zero, zawsze będzie oceniana na 1, więc jest ignorowana, ponieważ nic nie zmienia: 7×0 = 7(1) = 7.)

Zauważ również, że potęgi na terminach zaczęły się od największej, będącej 2, na pierwszym terminie i odliczały stamtąd w dół. Innym słowem na określenie „potęgi” lub „wykładnika” jest „kolejność”. Gdy wyrażenia są zapisane tak, że potęgi zmiennych idą od największej do najmniejszej, nazywa się to zapisem „w porządku malejącym”. Wielomiany są zwykle zapisywane w porządku malejącym, z członem stałym znajdującym się na końcu. (Uwaga: Niektórzy instruktorzy policzą odpowiedź źle, jeśli warunki wielomianu są całkowicie poprawne, ale nie są napisane w porządku malejącym.)

Pierwszy termin w wielomianu, gdy wielomian jest napisany w porządku malejącym, jest również terminem o największym wykładniku i jest nazywany terminem „wiodącym”.

Jeśli zmienna w terminie jest pomnożona przez liczbę, to ta liczba jest nazywana „współczynnikiem” (koh-ee-FISH-int), lub „współczynnikiem liczbowym”, terminu. Współczynnik terminu wiodącego (czyli „4” w powyższym przykładzie) jest „współczynnikiem wiodącym”. Jeśli nie ma liczby pomnożonej na zmiennej części terminu, to (w sensie technicznym) współczynnik tego terminu wynosi 1.

Wykładnik na zmiennej części terminu mówi o „stopniu” tego terminu. Na przykład, potęga na zmiennej x w wiodącym terminie w powyższym wielomianie wynosi 2; oznacza to, że wiodący termin jest terminem „drugiego stopnia” lub „terminem stopnia drugiego”. Drugi termin jest terminem „pierwszego stopnia”, lub „terminem stopnia pierwszego”.

W każdym wielomianie, stopień wiodącego terminu mówi o stopniu całego wielomianu, więc wielomian powyżej jest „wielomianem drugiego stopnia”, lub „wielomianem stopnia drugiego”.

• Podaj stopień wielomianu oraz podaj wartości współczynnika wiodącego i wyrazu stałego, jeśli takie występują, następującego wielomianu: 2×5 – 5×3 – 10x + 9