Eu sempre aceitei que a Transformada Laplace bilateral de uma função constante $f(t) = c$ não existe. Como poderia a seguinte integral convergir,
$$$\mathcal{L}=\int\int\limits_\mathbb{R}ce^{-st},\mathrm{d}t\;?$$
Então aprendi sobre distribuições e como são candidatos perfeitos para encontrar a Transformada de Fourier de funções “problemáticas” para as quais é difícil ou mesmo impossível avaliar a integral de Fourier habitual. Aqui, uma função constante pode ser transformada e produz o impulso Dirac $\delta(f)$ e por dualidade, isto vale também na outra direção.
Então a Transformada Laplace de um impulso Dirac é facilmente encontrada empregando a propriedade sifting e a definição do impulso Dirac:
$$\mathcal{L}=\int\limits_\mathbb{R}\delta(t)e^{-st}\,\mathrm{d}t=\int\limits_\mathbb{R}\delta(t)\underbrace{e^{-s\cdot0}}_{=1}\,\mathrm{d}t=1.$$
Agora eu estava a pensar, porque é que o seguinte não se aplica,
$$$$mathcal{L}==delta(s).$$
Procurei alguns artigos e palestras sobre a Transformação Laplace das distribuições, mas em nenhum lugar encontrei uma razão para que isso não seja verdade (posso ter esquecido, no entanto).Eu então tentei descobrir, se $\delta(s)$ está definido mas todas as fontes que encontrei definiram o domínio de ambas as distribuições e funções de teste (vamos considerar as funções Schwartz) como a linha real ou subconjuntos delas.
Eu suspeito que existe uma área que impede que as distribuições sejam definidas no plano complexo. Talvez tenha a ver com inteligência complexa, mas não tenho certeza.
Outra razão em que eu estava pensando é a região de convergência. Ao ver a Transformada de Laplace de $f(t)$ como a Transformada de Fourier de $f(t)e^{-{-}alfa t}$, onde $\alfa=\mathrm{Re}(s)$, acho que isto só pode ser tratado no contexto de distribuições quando $\alfa=0$. Caso contrário poderíamos encontrar uma função de teste $\phi(t)$ que diminui exponencialmente e, portanto, o par $\cdot e^{-alpha t^, ^phi(t)^; para todos $\c(t)$ dá o integral sobre uma função constante que não irá convergir. Mas se a região de convergência é apenas o eixo imaginário, não podemos avaliar a integral na Transformada Laplace inversa (mas não posso realmente dizer, porquê. É antes uma sensação instintiva).
Estou ansioso por respostas esclarecedoras sobre porque não podemos encontrar a Transformada Laplace bilateral de uma função constante.
Editar: Nas notas de meus Sinais & Classe Sistemas foi argumentado que seria o mesmo que a soma das transformações de uma função de passo normal e uma função de passo refletido. A região de convergência resultante é a união das duas regiões, mas elas não se sobrepõem, pois são o meio plano esquerdo e o meio plano direito, respectivamente. Portanto, a transformação bilateral de uma função constante não pode existir. Mas porque é que isto exclui o uso de distribuições?