Aplicaciones de la teoría de grupos abundan. Casi todas las estructuras del álgebra abstracta son casos especiales de grupos. Los anillos, por ejemplo, pueden verse como grupos abelianos (correspondientes a la suma) junto con una segunda operación (correspondiente a la multiplicación). Por lo tanto, los argumentos de la teoría de grupos subyacen a grandes partes de la teoría de esas entidades.
Teoría de GaloisEditar
La teoría de Galois utiliza grupos para describir las simetrías de las raíces de un polinomio (o más precisamente los automorfismos de las álgebras generadas por estas raíces). El teorema fundamental de la teoría de Galois proporciona un vínculo entre las extensiones de campos algebraicos y la teoría de grupos. Proporciona un criterio eficaz para la solvencia de las ecuaciones polinómicas en términos de la solvencia del grupo de Galois correspondiente. Por ejemplo, S5, el grupo simétrico en 5 elementos, no es soluble, lo que implica que la ecuación quíntica general no puede resolverse por medio de radicales del modo en que lo hacen las ecuaciones de grado inferior. La teoría, siendo una de las raíces históricas de la teoría de grupos, se sigue aplicando fructíferamente para obtener nuevos resultados en áreas como la teoría de campos de clases.
Topología algebraicaEditar
La topología algebraica es otro dominio que asocia prominentemente los grupos a los objetos en los que la teoría está interesada. Allí, los grupos se utilizan para describir ciertos invariantes de los espacios topológicos. Se llaman «invariantes» porque se definen de forma que no cambian si el espacio se somete a alguna deformación. Por ejemplo, el grupo fundamental «cuenta» cuántos caminos del espacio son esencialmente diferentes. La conjetura de Poincaré, demostrada en 2002/2003 por Grigori Perelman, es una aplicación destacada de esta idea. Pero la influencia no es unidireccional. Por ejemplo, la topología algebraica utiliza los espacios de Eilenberg-MacLane, que son espacios con grupos de homotopía prescritos. Del mismo modo, la teoría K algebraica se basa en cierto modo en los espacios de clasificación de grupos. Finalmente, el nombre del subgrupo de torsión de un grupo infinito muestra el legado de la topología en la teoría de grupos.
Geometría algebraicaEditar
La geometría algebraica utiliza igualmente la teoría de grupos de muchas maneras. Las variedades abelianas se han introducido anteriormente. La presencia de la operación de grupo proporciona información adicional que hace que estas variedades sean especialmente accesibles. También sirven a menudo para probar nuevas conjeturas. El caso unidimensional, es decir, las curvas elípticas, se estudia con especial detalle. Son intrigantes tanto desde el punto de vista teórico como práctico. En otra dirección, las variedades tóricas son variedades algebraicas sobre las que actúa un toro. Las incrustaciones toroidales han conducido recientemente a avances en la geometría algebraica, en particular la resolución de singularidades.
Teoría algebraica de los númerosEditar
La teoría algebraica de los números hace uso de los grupos para algunas aplicaciones importantes. Por ejemplo, la fórmula del producto de Euler,
∑ n ≥ 1 1 n s = ∏ p primo 1 1 – p – s , {\displaystyle {\begin{aligned}{suma _{n\geq 1}{frac {1}{n^{s}}&=\prod _{p{text{ primo}}{frac {1}{1-p^{-s}},\\\\bend{aligned}{s}.
capta el hecho de que cualquier número entero se descompone de forma única en primos. El fracaso de esta afirmación para anillos más generales da lugar a los grupos de clase y a los primos regulares, que figuran en el tratamiento de Kummer del Último Teorema de Fermat.
Análisis armónicoEditar
El análisis sobre grupos de Lie y algunos otros grupos se llama análisis armónico. Las medidas de Haar, es decir, las integrales invariantes bajo la traslación en un grupo de Lie, se utilizan para el reconocimiento de patrones y otras técnicas de procesamiento de imágenes.
CombinatoriaEditar
En combinatoria, la noción de grupo de permutación y el concepto de acción de grupo se utilizan a menudo para simplificar el recuento de un conjunto de objetos; véase en particular el lema de Burnside.
MusicEdit
La presencia de la periodicidad 12 en el círculo de quintas da lugar a aplicaciones de la teoría elemental de grupos en la teoría de conjuntos musicales. La teoría transformacional modela las transformaciones musicales como elementos de un grupo matemático.
PhysicsEdit
En física, los grupos son importantes porque describen las simetrías a las que parecen obedecer las leyes de la física. Según el teorema de Noether, cada simetría continua de un sistema físico corresponde a una ley de conservación del sistema. Los físicos están muy interesados en las representaciones de los grupos, especialmente de los grupos de Lie, ya que estas representaciones suelen señalar el camino de las «posibles» teorías físicas. Ejemplos del uso de grupos en la física incluyen el Modelo Estándar, la teoría gauge, el grupo de Lorentz, y el grupo de Poincaré.
Química y ciencia de los materialesEditar
En la química y la ciencia de los materiales, los grupos puntuales se utilizan para clasificar los poliedros regulares, y las simetrías de las moléculas, y los grupos espaciales para clasificar las estructuras cristalinas. Los grupos asignados pueden utilizarse para determinar las propiedades físicas (como la polaridad química y la quiralidad), las propiedades espectroscópicas (particularmente útiles para la espectroscopia Raman, la espectroscopia infrarroja, la espectroscopia de dicroísmo circular, la espectroscopia de dicroísmo circular magnético, la espectroscopia UV/Vis y la espectroscopia de fluorescencia) y para construir orbitales moleculares.
La simetría molecular es responsable de muchas propiedades físicas y espectroscópicas de los compuestos y proporciona información relevante sobre cómo se producen las reacciones químicas. Para asignar un grupo puntual para cualquier molécula dada, es necesario encontrar el conjunto de operaciones de simetría presentes en ella. La operación de simetría es una acción, como una rotación alrededor de un eje o una reflexión a través de un plano de espejo. En otras palabras, es una operación que desplaza la molécula de forma que no se distingue de la configuración original. En la teoría de grupos, los ejes de rotación y los planos especulares se denominan «elementos de simetría». Estos elementos pueden ser un punto, una línea o un plano con respecto al cual se realiza la operación de simetría. Las operaciones de simetría de una molécula determinan el grupo puntual específico para esta molécula.
En química, hay cinco operaciones de simetría importantes. Son la operación de identidad (E), la operación de rotación o giro propio (Cn), la operación de reflexión (σ), la inversión (i) y la operación de reflexión o giro impropio (Sn). La operación de identidad (E) consiste en dejar la molécula como está. Esto equivale a cualquier número de rotaciones completas alrededor de cualquier eje. Se trata de una simetría de todas las moléculas, mientras que el grupo de simetría de una molécula quiral consiste únicamente en la operación de identidad. La operación de identidad es una característica de toda molécula aunque no tenga simetría. La rotación alrededor de un eje (Cn) consiste en girar la molécula alrededor de un eje específico con un ángulo determinado. Es la rotación a través del ángulo 360°/n, donde n es un número entero, alrededor de un eje de rotación. Por ejemplo, si una molécula de agua gira 180° alrededor del eje que pasa por el átomo de oxígeno y entre los átomos de hidrógeno, se encuentra en la misma configuración que tenía al principio. En este caso, n = 2, ya que al aplicarlo dos veces se produce la operación de identidad. En las moléculas con más de un eje de rotación, el eje Cn que tiene el mayor valor de n es el eje de rotación de mayor orden o eje principal. Por ejemplo el Borano (BH3), el eje de rotación de mayor orden es el C3, por lo que el eje principal de rotación del eje es el C3.
En la operación de reflexión (σ) muchas moléculas tienen planos especulares, aunque no sean evidentes. La operación de reflexión intercambia a la izquierda y a la derecha, como si cada punto se hubiera movido perpendicularmente a través del plano hasta una posición exactamente igual de alejada del plano que cuando empezó. Cuando el plano es perpendicular al eje principal de rotación, se llama σh (horizontal). Otros planos, que contienen el eje principal de rotación, se denominan vertical (σv) o diedro (σd).
La inversión (i ) es una operación más compleja. Cada punto se desplaza por el centro de la molécula hasta una posición opuesta a la original y tan alejada del punto central como donde comenzó. Muchas moléculas que a primera vista parecen tener un centro de inversión no lo tienen; por ejemplo, el metano y otras moléculas tetraédricas carecen de simetría de inversión. Para ver esto, sostenga un modelo de metano con dos átomos de hidrógeno en el plano vertical a la derecha y dos átomos de hidrógeno en el plano horizontal a la izquierda. La inversión da como resultado dos átomos de hidrógeno en el plano horizontal de la derecha y dos átomos de hidrógeno en el plano vertical de la izquierda. Por tanto, la inversión no es una operación de simetría del metano, porque la orientación de la molécula tras la operación de inversión difiere de la orientación original. Y la última operación es la rotación impropia u operación de reflexión de la rotación (Sn) requiere una rotación de 360°/n, seguida de una reflexión a través de un plano perpendicular al eje de rotación.
Mecánica estadísticaEditar
La teoría de grupos puede utilizarse para resolver el carácter incompleto de las interpretaciones estadísticas de la mecánica desarrolladas por Willard Gibbs, relativas a la suma de un número infinito de probabilidades para obtener una solución significativa.
CriptografíaEditar
Los grupos muy grandes de orden primo construidos en la criptografía de curva elíptica sirven para la criptografía de clave pública. Los métodos criptográficos de este tipo se benefician de la flexibilidad de los objetos geométricos, de ahí sus estructuras de grupo, junto con la complicada estructura de estos grupos, que hacen que el logaritmo discreto sea muy difícil de calcular. Uno de los primeros protocolos de cifrado, el cifrado de César, también puede interpretarse como una operación de grupo (muy fácil). La mayoría de los esquemas criptográficos utilizan grupos de alguna manera. En particular, el intercambio de claves Diffie-Hellman utiliza grupos cíclicos finitos. Así que el término criptografía basada en grupos se refiere sobre todo a los protocolos criptográficos que utilizan grupos no abelianos infinitos, como un grupo trenzado.
