Množiny jsou považovány za matematické objekty. Podobně jako s čísly můžeme s množinami provádět určité matematické operace. Níže se budeme zabývat hlavními operacemi zahrnujícími průnik, sjednocení, rozdíl, symetrický rozdíl a doplněk množin.
K vizualizaci operací s množinami budeme používat Vennovy diagramy. Ve Vennově diagramu je v obdélníku znázorněna univerzální množina a všechny ostatní množiny jsou obvykle znázorněny kruhy uvnitř obdélníku. Vystínovaná oblast představuje výsledek operace.
Intersekce množin
Dvě množiny nazýváme disjunktní, pokud nemají žádné společné prvky.
Příklady:
Sjednocení množin
Dvě množiny nazýváme disjunktní, pokud nemají žádné společné prvky.
Příklady:
Princip inkluze-exkluze
\
kde \(\left| {A \cap B} \right|\) je kardinalita průniku \(A\) a \(B.\)
Podobný vzorec existuje pro sjednocení \(3\) konečných množin:
Diference dvou množin
Příklady:
Symetrická diference
Z hlediska sjednocení a průniků lze symetrický rozdíl dvou množin \(A\) a \(B\) vyjádřit jako
\
Příklady:
Doplněk množiny
Takže podle definice máme
\
Příklady:
Řešené úlohy
Kliknutím nebo klepnutím na úlohu zobrazíte řešení.
Řešení.
Řešení.
Řešení.
Můžeme vyjádřit množinu \(A\) takto:
\
Vypočítáme prvky množiny \(A:\)
\
Podobně určíme prvky množiny \(B:\)
\
Řešení.
Můžeme najít množinu \(A\) takto:
\
Množina \(B\) je dána
\
Příklad 5.
Nechť \(A, B,\) a \(C\) jsou množiny. Nakreslete Vennův diagram pro kombinaci množin \(A \cap \left( {B \backslash C} \right).\)
Řešení.
Oblast \(A \cap \left( {B\backslash C} \right)\) je vybarvena oranžově.
Příklad 6.
Nechť \(A, B,\) a \(C\) jsou množiny. Nakreslete Vennův diagram pro \(\left( {A \cap {B^c}} \right) \cup \left( {A \cap {C^c}} \right).\)
Řešení.
Oblast \(\left( {A \cap {B^c}} \right) \cup \left( {A \cap {C^c}} \right)\) je vybarvena oranžově.
Řešení.
Poslední dvojice francouzštiny a čínštiny je dána vztahem \(10 = x + \left( {10 – x} \right).\)
Připomeňme, že celkový počet studentů, kteří se učí španělsky, je \(45.\) Pomocí Vennova diagramu zjistíme, že zbývající část zeleného kruhu \(S\) obsahuje počet studentů rovný
\ }={ 25 + x.}\]
Podobně můžeme vypočítat zbývající část modrého kruhu \(F:\)
\ }={ 6 + x.}\]
Pro fialový kruh \(C\) máme
\ }={ 4 + x.}\]
Nyní jsou všechna rozdělení vyjádřena v termínech \(x,\), takže můžeme napsat následující rovnici:
\
Řešením pro \(x,\) zjistíme počet studentů, kteří se učí všechny jazyky \(3\):
\
\
Řešení.
Podmnožiny násobků čísel \(2,\) \(3,\) a \(5\) označíme \(A,\) \(B,\) a \(C.\) Podle podmínky,
\
\
Podobně máme
\
Nakonec, je-li číslo násobkem \(30,\), znamená to, že je dělitelné \(2,\) \(3,\) a \(5.\) Zde máme průnik tří podmnožin:
\
Kardinalita sjednocení tří množin je dána vzorcem
Posazením známých hodnot dostaneme
\
.