A halmazokat matematikai objektumként kezeljük. A számokhoz hasonlóan a halmazokon is végezhetünk bizonyos matematikai műveleteket. Az alábbiakban a halmazok metszetével, egyesítésével, különbségével, szimmetrikus különbségével és komplementjével kapcsolatos főbb műveleteket tekintjük át.
A halmazműveletek szemléltetésére Venn-diagramokat használunk. A Venn-diagramban egy téglalap mutatja az univerzális halmazt, az összes többi halmazt pedig általában a téglalapon belüli körökkel ábrázoljuk. Az árnyékolt terület a művelet eredményét ábrázolja.
Mennyiségek metszése
Két halmazt diszjunktnak nevezünk, ha nincs közös elemük.
Példák:
Mennyiségek egyesítése
Példák:
Befogadás-kizárás elve
\
ahol \(\left| {A \cap B} \right|\) az \(A\) és \(B) metszetének kardinalitása.\)
Az \(3\) véges halmazok uniójára is létezik hasonló képlet:
Két halmaz különbsége
Példák:
Szimmetrikus különbség
Az unió és a metszéspontok szempontjából két halmaz \(A\) és \(B\) szimmetrikus különbsége a következőképpen fejezhető ki:
\
Példák:
egy halmaz kiegészítése
A definíció szerint tehát
\
Példák:
megoldott feladatok
Klikkelj vagy koppints egy feladatra a megoldás megtekintéséhez.
megoldás.
megoldás.
megoldás.
Az \(A\) halmazt a következőképpen fejezhetjük ki:
\
Meghatározzuk az \(A:\)
\
Hasonlóan meghatározzuk az \(B:\)
\
megoldás halmaz elemeit.
Az \(A\) halmazt a következőképpen találjuk meg:
\
Az \(B\) halmaz adódik
\
5. példa.
Legyen \(A, B,\) és \(C\) halmaz. Rajzoljuk meg a Venn-diagramot az \(A \cap \left( {B \backslash C} \right).\)
megoldás.
Az \(A \cap \left( {B\backslash C} \right)\) régiót narancssárgával színezzük.
Példa 6.
Legyen \(A, B,\) és \(C\) halmazok. Rajzoljuk meg az \(\left( {A \cap {B^c}} \right) \cup \left( {A \cap {C^c}} \right).\)
megoldás.
Az \(\left( {A \cap {B^c}}} \right) \cup \left( {A \cap {C^c}}} \right)\) régiót narancssárgával színezzük.
megoldás.
A francia és a kínai utolsó párját az \(10 = x + \left( {10 – x} \right) adja.\)
Megjegyezzük, hogy a spanyolul tanuló diákok teljes száma \(45.\) A Venn-diagram segítségével megállapíthatjuk, hogy a zöld kör fennmaradó része \(S\) tartalmazza a diákok számát, amely egyenlő
\ }={ 25 + x.}\]
Hasonlóképpen kiszámíthatjuk a kék kör \(F:\)
\ }={ 6 + x.}\]
A lila kör \(C\)
\ }={ 4 + x.}\]
Most az összes partíciót az \(x,\) függvényében fejezzük ki, így felírhatjuk a következő egyenletet:
\
Megoldva az \(x,\) függvényre, megtaláljuk az összes \(3\) nyelvet tanuló diákok számát:
\
\
megoldás.
A számok \(2,\) \(3,\) és \(5\) többszörösének részhalmazait jelöljük \(A,\) \(B,\) és \(C.\) A feltétel szerint,
\
\
Hasonlóképpen, van
\
Végül, ha egy szám \(30,\) többszöröse, ez azt jelenti, hogy osztható \(2,\) \(3,\) és \(5.\) Itt három részhalmaz metszetét kapjuk:
\
A három halmaz uniójának kardinalitását a képlet
Az ismert értékek behelyettesítésével megkapjuk
\
.