Les ensembles sont traités comme des objets mathématiques. De même que pour les nombres, nous pouvons effectuer certaines opérations mathématiques sur les ensembles. Nous considérons ci-dessous les principales opérations impliquant l’intersection, l’union, la différence, la différence symétrique et le complément des ensembles.
Pour visualiser les opérations sur les ensembles, nous utiliserons les diagrammes de Venn. Dans un diagramme de Venn, un rectangle montre l’ensemble universel, et tous les autres ensembles sont généralement représentés par des cercles à l’intérieur du rectangle. La région ombrée représente le résultat de l’opération.
Intersection d’ensembles
Deux ensembles sont dits disjoints s’ils n’ont aucun élément en commun.
Exemples:
Union d’ensembles
Exemples:
Principe d’inclusion-exclusion
\
où \(\left| {A \cap B} \right|\) est la cardinalité de l’intersection de \(A\) et \(B.\)
La formule similaire existe pour l’union de \(3\) ensembles finis:
Différence de deux ensembles
Exemples:
Différence symétrique
En termes d’unions et d’intersections, la différence symétrique de deux ensembles \(A\) et \(B\) peut être exprimée comme
\
Exemples:
Complément d’un ensemble
Donc par définition, on a
Exemples:
Problèmes résolus
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Solution.
Solution.
Solution.
On peut exprimer l’ensemble \(A\) de la façon suivante:
Compter les éléments de l’ensemble \(A:\)
De même, on détermine les éléments de l’ensemble \(B:\)
Solution.
Nous pouvons trouver l’ensemble \(A\) comme suit:
\
L’ensemble \(B\) est donné par
\
Exemple 5.
Disons \(A, B,\) et \(C\) des ensembles. Dessinez le diagramme de Venn pour la combinaison d’ensembles \(A \cap \left( {B \backslash C} \right).\)
Solution.
La région \(A \cap \left( {B\backslash C} \right)\) est colorée en orange.
Exemple 6.
Laissez \(A, B,\) et \(C\) être des ensembles. Dessinez le diagramme de Venn pour \(\left( {A \cap {B^c}} \right) \cup \left( {A \cap {C^c}} \right).\)
Solution.
La région \(\left( {A \cap {B^c}} \right) \cup \left( {A \cap {C^c}} \right)\) est colorée en orange.
Solution.
La dernière paire de français et de chinois est donnée par \(10 = x + \left( {10 – x} \right).\)
Rappelle-toi que le nombre total d’étudiants apprenant l’espagnol est \(45.\) En utilisant le diagramme de Venn, nous trouvons que la partie restante du cercle vert \(S\) contient le nombre d’étudiants égal à
\ }={ 25 + x.De même, nous pouvons calculer la partie restante du cercle bleu \(F:\)
\ }={ 6 + x.}
Pour le cercle violet \(C\) nous avons
\N={ 4 + x.
Maintenant toutes les partitions sont exprimées en termes de \(x,\) donc nous pouvons écrire l’équation suivante:
Solvons-la pour \(x,\) nous trouvons le nombre d’étudiants apprenant toutes les \(3\) langues:
Solution.
Nous désignons les sous-ensembles de nombres multiples de \(2,\) \(3,\) et \(5\), respectivement par \(A,\) \(B,\) et \(C.\) Par condition,
\
\
De même, on a
\
Enfin, si un nombre est multiple de \(30,\) cela signifie qu’il est divisible par \(2,\) \(3,\) et \(5.\) Nous avons ici l’intersection de trois sous-ensembles:
\
La cardinalité de l’union de trois ensembles est donnée par la formule
En substituant les valeurs connues, on obtient
\
.