Sets são tratados como objetos matemáticos. Da mesma forma que os números, podemos realizar certas operações matemáticas em conjuntos. Abaixo consideramos as principais operações envolvendo a intersecção, união, diferença, diferença simétrica e o complemento de conjuntos.
Para visualizar as operações de conjuntos, usaremos diagramas Venn. Em um diagrama Venn, um retângulo mostra o conjunto universal, e todos os outros conjuntos são normalmente representados por círculos dentro do retângulo. A região sombreada representa o resultado da operação.
Intersecção dos Conjuntos
Dois conjuntos são chamados disjoint se não tiverem elementos em comum.
Exemplos:
União dos Conjuntos
Exemplos:
Princípio da Inclusão-Exclusão
>
Onde {{A esquerda}{A direita}{A direita}} é a cardinalidade da intersecção de {A} e B.\A fórmula similar existe para a união de conjuntos finitos:
Diferença de dois conjuntos
Exemplos:
Diferença simétrica
Em termos de uniões e intersecções, a diferença simétrica de dois conjuntos pode ser expressa como
Exemplos:
Complemento de um conjunto
Então, por definição, temos
Exemplos:
Problemas resolvidos
Clique ou toque num problema para ver a solução.
Solução.
Solução.
Solução.
Podemos exprimir o conjunto \(A\) da seguinte forma:
Computa os elementos do conjunto \(A:\)
Simplesmente, determinamos os elementos do conjunto \(B:\)
Solução.
>
Nós podemos encontrar o conjunto como se segue:
>
O conjunto é dado por
Exemplo 5.
Deixe os conjuntos \(A, B,\) e \(C).
A região \\(A {B\backslash C} {direita)} é colorida com laranja.
Exemplo 6.
Let {A, B,}} e C\b. Desenhe o diagrama Venn para \(esquerda( {A \a {B^c}}} {B^c}} \a \a \a \a {A \a {C^c}}.{A \a \a \a {C^c}}
Solução.
A região {B^c}{B^c}{B^c}{Direita} {B^cupa {B^c}} é colorida com laranja.
Solução.
O último par de francês e chinês é dado por \\(10 = x + \i1 esquerda( {10 – x}direita).\)
Recorde que o número total de alunos aprendendo espanhol é \(45.\) Usando o diagrama Venn, encontramos que a porção restante do círculo verde \(S\) contém o número de alunos igual a
\ }={ 25 + x.\]
Simplesmente, podemos calcular a porção restante do círculo azul \(F:\)
\ }={ 6 + x.}]
Para o círculo roxo \(C\) temos
\ }={ 4 + x.
Agora todas as partições são expressas em termos de \\(x,\) para podermos escrever a seguinte equação:
Solucionar para \(x,\) encontramos o número de alunos que aprendem todas as línguas \(3\):
>
>
Solução.
Denominamos os subconjuntos de números múltiplos de {2,}(3,}) e {5}, respectivamente por A,}(B,} e C.\Por condição,
Simplesmente, temos
>
>Finalmente, se um número é múltiplo de {\i1}(30,}) isto significa que é divisível por {\i}(2,}(3,}) e {\i}(5,}.\Aqui temos a intersecção de três subconjuntos:
A cardinalidade da união de três conjuntos é dada pela fórmula
Ao substituir os valores conhecidos, obtemos