Los conjuntos se tratan como objetos matemáticos. De forma similar a los números, podemos realizar ciertas operaciones matemáticas con los conjuntos. A continuación consideramos las principales operaciones que implican la intersección, la unión, la diferencia, la diferencia simétrica y el complemento de conjuntos.
Para visualizar las operaciones con conjuntos, utilizaremos los diagramas de Venn. En un diagrama de Venn, un rectángulo muestra el conjunto universal, y todos los demás conjuntos suelen estar representados por círculos dentro del rectángulo. La región sombreada representa el resultado de la operación.
Intersección de conjuntos
Dos conjuntos se llaman disjuntos si no tienen elementos en común.
Ejemplos:
Unión de conjuntos
Ejemplos:
Principio de Inclusión-Exclusión
donde \(\left| {A \cap B} \right|\) es la cardinalidad de la intersección de \(A\) y \(B.\)
La fórmula similar existe para la unión de \(3\) conjuntos finitos:
Diferencia de dos conjuntos
Ejemplos:
Diferencia simétrica
En términos de uniones e intersecciones, la diferencia simétrica de dos conjuntos \(A\) y \(B\) puede expresarse como
Ejemplos:
Complemento de un conjunto
Así que, por definición, tenemos
Ejemplos:
Problemas resueltos
Haz clic o toca un problema para ver la solución.
Solución.
Solución.
Solución.
Podemos expresar el conjunto \(A\) de la siguiente manera:
\NCalcular los elementos del conjunto \(A:\N)
\NSimilarmente, determinamos los elementos del conjunto \N(B:\N)
\NSolución.
Podemos encontrar el conjunto \(A\) de la siguiente manera:
\
El conjunto \(B\) viene dado por
\
Ejemplo 5.
Sea \(A, B,\) y \(C\) conjuntos. Dibuje el diagrama de Venn para la combinación de conjuntos \a(A \cáp \a la izquierda( {B \a la barra invertida C} \a la derecha).\a)
Solución.
La región \(A \cap \left( {B\backslash C} \right)\Nestá coloreada de naranja.
Ejemplo 6.
Serán conjuntos \\N(A, B,\) y \N(C\). Dibujar el diagrama de Venn para \a(\a la izquierda( {A \a la tapa {B^c} \a la derecha) \a la izquierda( {A \a la tapa {C^c} \a la derecha).\a)
Solución.
La región \a( \a \cap {B^c}} \a la derecha) \a( \a \cap {C^c}} \a la derecha)\a) está coloreada de naranja.
Solución.
La última pareja de franceses y chinos viene dada por \N(10 = x + \Nleft( {10 – x} \Nright).\)
Recordemos que el número total de alumnos que aprenden español es \(45.\) Utilizando el diagrama de Venn, encontramos que la porción restante del círculo verde \(S\) contiene el número de alumnos igual a
={ 25 + x.Del mismo modo, podemos calcular la parte restante del círculo azul (F:\)
={ 6 + x.}]
Para el círculo púrpura (C) tenemos
={ 4 + x.}]
Ahora todas las particiones se expresan en términos de \(x,\) por lo que podemos escribir la siguiente ecuación:
\
Resolviéndola para \(x,\) encontramos el número de alumnos que aprenden todos los idiomas \(3\):
\
Solución.
Denotamos los subconjuntos de números múltiples de \(2,\) \(3,\) y \(5\), respectivamente por \(A,\) \(B,\) y \(C.\) Por condición,
\
\
Similarmente, tenemos
\
Finalmente, si un número es múltiplo de \(30,\) esto significa que es divisible por \(2,\) \(3,\) y \(5.\) Aquí tenemos la intersección de tres subconjuntos:
\
La cardinalidad de la unión de tres conjuntos viene dada por la fórmula
Sustituyendo los valores conocidos, obtenemos