Zbiory są traktowane jako obiekty matematyczne. Podobnie jak na liczbach, na zbiorach możemy wykonywać pewne operacje matematyczne. Poniżej rozważymy podstawowe operacje dotyczące przecięcia, złączenia, różnicy, różnicy symetrycznej i dopełnienia zbiorów.
Do wizualizacji operacji na zbiorach posłużymy się diagramami Venna. W diagramie Venna, prostokąt pokazuje zbiór uniwersalny, a wszystkie inne zbiory są zwykle reprezentowane przez okręgi wewnątrz prostokąta. Zacieniowany obszar reprezentuje wynik operacji.
Przecięcie zbiorów
Dwa zbiory nazywamy rozłącznymi, jeśli nie mają wspólnych elementów.
Przykłady:
Unia zbiorów
Przykłady:
Zasada inkluzji-ekskluzji
Przykłady:
gdzie ∗lewa| {A ∗cap B} ∗prawa|) jest kardynalnością przecięcia ∗ i ∗ B.\)
Podobna formuła istnieje dla unii zbiorów skończonych:
Różnica dwóch zbiorów
Przykłady:
Różnica symetryczna
W kategoriach związków i przecięć, symetryczną różnicę dwóch zbiorów ∗ i ∗ można wyrazić jako
Przykłady:
Dopełnienie zbioru
Więc z definicji mamy
Przykłady:
Rozwiązane problemy
Kliknij lub stuknij problem, aby zobaczyć rozwiązanie.
Rozwiązanie.
Rozwiązanie.
Rozwiązanie.
Zbiór możemy wyrazić w następujący sposób:
Wyznaczamy elementy zbioru \(A:\)
Analogicznie wyznaczamy elementy zbioru \(B:\)
Rozwiązanie.
Zbiór \(A) możemy znaleźć w następujący sposób:
Zbiór \(B) jest dany przez
Przykład 5.
Niech \(A, B,\) i \(C) będą zbiorami. Narysuj diagram Venna dla kombinacji zbiorów ∗(A ∗ lewy( {B ∗ odwrotny ukośnik C} ∗ prawy).
Rozwiązanie.
Region \(A \ Lewy( \ C \ Prawy)\) jest pokolorowany kolorem pomarańczowym.
Przykład 6.
Niech \(A, B, \) i \(C) będą zbiorami. Narysuj diagram Venna dla \(\lewa( {A ^c} \prawa) \lewa( {A ^c} {C^c} \prawa).\)
Rozwiązanie.
Region \(\left( {A \cap {B^c}} \right) \) jest pokolorowany na pomarańczowo.
Rozwiązanie.
Ostatnia para francuskiego i chińskiego jest dana przez \(10 = x + \left( {10 – x} \right).\)
Przypomnijmy, że całkowita liczba uczniów uczących się języka hiszpańskiego wynosi \(45.\) Korzystając z diagramu Venna, stwierdzamy, że pozostała część zielonego koła \(S) zawiera liczbę uczniów równą
}={ 25 + x.Podobnie możemy obliczyć, że pozostała część niebieskiego okręgu
}={ 6 + x.} Dla fioletowego okręgu
mamy
}={ 4 + x.}]
Teraz wszystkie partycje są wyrażone w kategoriach \(x,\), więc możemy napisać następujące równanie:
Rozwiązując je dla \(x,\) znajdziemy liczbę uczniów uczących się wszystkich języków \(3):
Rozwiązanie.
Podzbiory liczb wielokrotności \(2,\) \(3,\) i \(5,\) oznaczamy odpowiednio przez \(A,\) \(B,\) i \(C.\) Z warunku,
Podobnie mamy
Wreszcie, jeśli liczba jest wielokrotnością \(30,\) oznacza to, że jest podzielna przez \(2,\) \(3,\) i \(5.\Mamy tu przecięcie trzech podzbiorów:
Kardynalność unii trzech zbiorów dana jest wzorem
Podstawiając znane wartości, otrzymujemy
.