V minulé části jste se seznámili s anuitami. U anuity začínáte s ničím, pravidelně vkládáte peníze na účet a na konci máte peníze na účtu.
V této části se seznámíme s variantou zvanou výplatní anuita. U výplatní anuity začínáte s penězi na účtu a peníze z účtu pravidelně vybíráte. Všechny zbývající peníze na účtu se úročí. Po uplynutí stanovené doby skončí účet prázdný.
Výplatní anuity se obvykle používají po odchodu do důchodu. Možná jste si na důchod naspořili 500 000 USD a chcete si z účtu každý měsíc vybírat peníze na živobytí. Chcete, aby vám peníze vydržely 20 let. Jedná se o výplatní anuitu. Vzorec se odvozuje podobným způsobem, jako jsme to udělali u spořicí renty. Podrobnosti zde vynecháme.
Výplatní anuitní vzorec
P_{0}=\frac{d\left(1-\left(1+\frac{r}{k}\right)^{-Nk}\right)}{\left(\frac{r}{k}\right)}
P0 je zůstatek na účtu na začátku (počáteční částka nebo jistina).
d je pravidelný výběr (částka, kterou vybíráte každý rok, každý měsíc atd.)
r je roční úroková sazba (v desetinném tvaru. Příklad: 5 % = 0,05)
k je počet období skládání v jednom roce.
N je počet let, po které plánujeme provádět výběry
Stejně jako u anuit není frekvence skládání vždy explicitně dána, ale je určena tím, jak často budete provádět výběry.
Kdy to použijete
Výplatní anuity předpokládají, že peníze z účtu vybíráte v pravidelných termínech (každý měsíc, rok, čtvrtletí atd.) a zbytek necháte ležet a úročit.
Složené úročení: Jeden vklad
Antuita:
Výplatní anuita: Příklad 9
Po odchodu do důchodu chcete mít možnost vybírat ze svého penzijního účtu každý měsíc 1000 dolarů po dobu 20 let
. Účet je úročen 6 %. Kolik budete na účtu potřebovat, až půjdete do důchodu?“
V tomto příkladu,
d = 1000 USD měsíční výběr
r = 0.06 6% roční úroková sazba
k = 12, protože provádíme měsíční výběry, budeme skládat měsíčně
N = 20, protože jsme vybírali po dobu 20 let
Hledáme P0; kolik peněz musí být na účtu na začátku.
Dosadíme-li to do rovnice:
\begin{align}&{{P}_{0}}=\frac{1000\left(1-{{\left(1+\frac{0.06}{12}\right)}^{-20(12)}}\right)}{\left(\frac{0.06}{12}\right)}\\&{{P}_{0}}=\frac{1000\times\left(1-{{\left(1.005\right)}^{-240}}\right)}{\left(0.005\right)}\\&{{P}_{0}}=\frac{1000\times\left(1-0.302\right)}{\left(0,005\right)}=\$139 600 \\ \end{align}
Při odchodu do důchodu musíte mít na účtu 139 600 USD.
Poznamenejme, že jste vybrali celkem 240 000 USD (1000 USD měsíčně po dobu 240 měsíců). Rozdíl mezi tím, co jste vybrali, a tím, s čím jste začínali, je získaný úrok. V tomto případě je to 240 000 USD – 139 600 USD = 100 400 USD úroků.
Vyhodnocování záporných exponentů na kalkulačce
Při řešení těchto úloh je třeba zvyšovat čísla na záporné mocniny. Většina kalkulaček má samostatné tlačítko pro zápor čísla, které se liší od tlačítka pro odečítání. Některé kalkulačky jej označují (-) , jiné +/-. Tlačítko se často nachází v blízkosti klávesy = nebo desetinné čárky.
Pokud vaše kalkulačka zobrazuje operace na ní (typicky kalkulačka s víceřádkovým displejem), pro výpočet 1,005-240 byste napsali něco takového: 1,005 ^ (-) 240
Pokud vaše kalkulačka zobrazuje vždy jen jednu hodnotu, pak obvykle za číslem stisknete klávesu (-), abyste ho negovali, takže byste stiskli: 1,005 yx 240 (-) =
Zkuste to – měli byste dostat 1,005-240 = 0,302096
Příklad 10
Víte, že v důchodu budete mít na účtu 500 000 dolarů. Chcete mít možnost měsíčních výběrů z účtu po dobu celkem 30 let. Váš penzijní účet je úročen 8 %. Kolik budete moci každý měsíc vybírat?“
V tomto příkladu,
hledáme d.
r = 0. Jaký bude váš měsíční výnos?08 8% roční úroková sazba
k = 12, protože vybíráme měsíčně
N = 30 30 let
P0 = 500 000 USD, začínáme s 500 000 USD
V tomto případě budeme muset sestavit rovnici a řešit d.
\begin{align}&500,000=\frac{d\left(1-{{\left(1+\frac{0.08}{12}\right)}^{-30(12)}}\right)}{\left(\frac{0.08}{12}\right)}\\&500,000=\frac{d\left(1-{{\left(1.00667\right)}^{-360}}\right)}{\left(0.00667\right)}\\&500,000=d(136.232)\\&d=\frac{500,000}{136.232}=\$3670.21 \\ \end{align}
Po dobu 30 let byste mohli každý měsíc vybírat 3 670,21 USD.
Zkuste to teď 3
Dárce věnuje univerzitě 100 000 USD a určí, že je má použít na roční stipendia po dobu následujících 20 let. Pokud může univerzita získat 4% úrok, kolik může každoročně poskytnout na stipendia?