En la última sección usted aprendió sobre las anualidades. En una anualidad, usted comienza sin nada, pone dinero en una cuenta de forma regular y termina con dinero en su cuenta.
En esta sección, aprenderemos sobre una variación llamada anualidad de pago. Con una anualidad de pago, usted comienza con dinero en la cuenta, y saca dinero de la cuenta de forma regular. El dinero restante en la cuenta genera intereses. Después de un tiempo determinado, la cuenta quedará vacía.
Las rentas vitalicias de pago suelen utilizarse después de la jubilación. Quizá haya ahorrado 500.000 dólares para la jubilación y quiera sacar dinero de la cuenta cada mes para vivir. Quiere que el dinero le dure 20 años. Esto es una renta vitalicia de pago. La fórmula se obtiene de manera similar a la que hicimos para las anualidades de ahorro. Los detalles se omiten aquí.
Fórmula de la anualidad de pago
P_{0}=d\left(1-\left(1+\frac{r}{k}\right)^{{Nk}\right)}{left(\frac{r}{k}\right)}
P0 es el saldo de la cuenta al principio (cantidad inicial, o principal).
d es el retiro regular (la cantidad que se saca cada año, cada mes, etc.)
r es el tipo de interés anual (en forma decimal. Ejemplo: 5% = 0,05)
k es el número de periodos de capitalización en un año.
N es el número de años en los que planeamos hacer retiros
Al igual que con las rentas vitalicias, la frecuencia de capitalización no siempre se da explícitamente, sino que se determina por la frecuencia con la que se hacen los retiros.
¿Cuándo se usa esto?
Las rentas vitalicias suponen que se retira dinero de la cuenta en un horario regular (cada mes, año, trimestre, etc.) y se deja que el resto se quede ganando intereses.
Interés compuesto: Un depósito
Anualidad: Muchos depósitos.
Anualidad de pago: Muchos retiros
Ejemplo 9
Después de jubilarse, usted quiere poder tomar $1000 cada mes durante un total de 20 años de su cuenta de jubilación. La cuenta gana un 6% de interés. ¿Cuánto necesitará en su cuenta cuando se jubile?
En este ejemplo,
d = $1000 el retiro mensual
r = 0.06 6% tasa anual
k = 12 ya que estamos haciendo retiros mensuales, vamos a componer mensualmente
N = 20 ya que estábamos tomando retiros durante 20 años
Estamos buscando P0; cuánto dinero tiene que estar en la cuenta al principio.
Poniendo esto en la ecuación:
{begin{align}&{P}_{0}={frac{1000}(1-{{left(1+{frac{0.06}{12}\right)}^{-20(12)}}\right)}{\left(\frac{0.06}{12}\right)}\\&{{P}_{0}}=\frac{1000\times\left(1-{{\left(1.005\right)}^{-240}}\right)}{\left(0.005\right)}\\&{{P}_{0}}=\frac{1000\times\left(1-0.302\right)}{left(0.005\right)}=$139,600 \\end{align}
Necesitará tener $139,600 en su cuenta cuando se jubile.
Notenga en cuenta que retiró un total de $240,000 ($1000 al mes durante 240 meses). La diferencia entre lo que sacaste y lo que empezaste es el interés ganado. En este caso son $240,000 – $139,600 = $100,400 en intereses.
Evaluando exponentes negativos en tu calculadora
Con estos problemas, necesitas elevar números a potencias negativas. La mayoría de las calculadoras tienen un botón separado para negar un número que es diferente del botón de sustracción. Algunas calculadoras lo etiquetan con (-) , otras con +/- . El botón suele estar cerca de la tecla = o del punto decimal.
Si tu calculadora muestra las operaciones en ella (típicamente una calculadora con pantalla multilínea), para calcular 1,005-240 escribirías algo como: 1,005 ^ (-) 240
Si tu calculadora sólo muestra un valor a la vez, entonces normalmente se pulsa la tecla (-) después de un número para negarlo, así que pulsarías: 1,005 yx 240 (-) =
Inténtelo: debería obtener 1,005-240 = 0,302096
Ejemplo 10
Sabe que tendrá 500.000 dólares en su cuenta cuando se jubile. Quiere poder retirar mensualmente de la cuenta durante un total de 30 años. Su cuenta de jubilación gana un interés del 8%. ¿Cuánto podrá retirar cada mes?
En este ejemplo,
Estamos buscando d.
r = 0.08 8% tasa anual
k = 12 ya que estamos retirando mensualmente
N = 30 30 años
P0 = $500,000 estamos empezando con $500,000
En este caso, vamos a tener que establecer la ecuación, y resolver para d.
\begin{align}&500,000=\frac{d\left(1-{{\left(1+\frac{0.08}{12}\right)}^{-30(12)}}\right)}{\left(\frac{0.08}{12}\right)}\\&500,000=\frac{d\left(1-{{\left(1.00667\right)}^{-360}}\right)}{\left(0.00667\right)}\\&500,000=d(136.232)\\&d=\frac{500,000}{136.232}=\$3670.21 \\\ {align}
Podría retirar 3.670,21$ cada mes durante 30 años.
Pruébalo ahora 3
Un donante da 100.000$ a una universidad, y especifica que se va a utilizar para dar becas anuales durante los próximos 20 años. Si la universidad puede ganar un 4% de interés, ¿cuánto puede dar en becas cada año?