Im letzten Abschnitt haben Sie etwas über Annuitäten gelernt. Bei einer Annuität fängt man mit nichts an, zahlt regelmäßig Geld auf ein Konto ein und hat am Ende Geld auf dem Konto.
In diesem Abschnitt lernen wir eine Variante kennen, die als Auszahlungsannuität bezeichnet wird. Bei einer Payout Annuity beginnen Sie mit Geld auf dem Konto und ziehen regelmäßig Geld vom Konto ab. Das verbleibende Geld auf dem Konto wird verzinst. Nach einer bestimmten Zeit ist das Konto leer.
Auszahlungsrenten werden in der Regel nach der Pensionierung verwendet. Vielleicht haben Sie 500.000 $ für den Ruhestand gespart und möchten jeden Monat Geld von dem Konto abheben, um davon zu leben. Das Geld soll Ihnen 20 Jahre lang reichen. Dies ist eine Auszahlungsannuität. Die Formel wird auf ähnliche Weise hergeleitet wie bei den Sparrenten.
Auszahlungsrentenformel
P_{0}=\frac{d\left(1-\left(1+\frac{r}{k}\right)^{-Nk}\right)}{\left(\frac{r}{k}\right)}
P0 ist das Guthaben auf dem Konto zu Beginn (Startbetrag oder Kapital).
d ist die regelmäßige Entnahme (der Betrag, den Sie jedes Jahr, jeden Monat usw. abheben)
r ist der jährliche Zinssatz (in Dezimalform. Beispiel: 5% = 0,05)
k ist die Anzahl der Zinseszinsperioden in einem Jahr.
N ist die Anzahl der Jahre, für die Entnahmen geplant sind
Wie bei Rentenversicherungen ist die Häufigkeit der Aufzinsung nicht immer explizit angegeben, sondern hängt davon ab, wie oft man die Entnahmen vornimmt.
Wann verwendet man das
Bei Auszahlungsrenten wird davon ausgegangen, dass man regelmäßig (jeden Monat, jedes Jahr, jedes Quartal usw.) Geld vom Konto abhebt und den Rest zinsbringend liegen lässt.
Zinseszins: Eine Einzahlung
Annuität: Viele Einzahlungen.
Auszahlungs-Annuität: Viele Abhebungen
Beispiel 9
Nach Ihrer Pensionierung möchten Sie 20 Jahre lang jeden Monat 1000 $ von Ihrem Rentenkonto abheben können. Das Konto wird mit 6 % verzinst. Wie viel werden Sie auf Ihrem Konto brauchen, wenn Sie in Rente gehen?
In diesem Beispiel,
d = 1000 $ die monatliche Entnahme
r = 0.06 6% jährlicher Zinssatz
k = 12, da wir monatliche Entnahmen machen, werden wir monatlich aufzinsen
N = 20, da wir Entnahmen für 20 Jahre machen
Wir suchen nach P0; wie viel Geld muss am Anfang auf dem Konto sein.
Dies in die Gleichung einsetzen:
\begin{align}&{{P}_{0}}=\frac{1000\left(1-{{\left(1+\frac{0.06}{12}\right)}^{-20(12)}}\right)}{\left(\frac{0.06}{12}\right)}\\&{{P}_{0}}=\frac{1000\times\left(1-{{\left(1.005\right)}^{-240}}\right)}{\left(0.005\right)}\\&{{P}_{0}}=\frac{1000\times\left(1-0.302\right)}{\left(0.005\right)}=\$139,600 \\\ \end{align}
Sie müssen $139,600 auf Ihrem Konto haben, wenn Sie in den Ruhestand gehen.
Beachten Sie, dass Sie insgesamt $240,000 ($1000 pro Monat für 240 Monate) abgehoben haben. Die Differenz zwischen dem, was Sie abgehoben haben, und dem, womit Sie angefangen haben, ist der Zinsertrag. In diesem Fall sind es 240.000 $ – 139.600 $ = 100.400 $ an Zinsen.
Negative Exponenten auf dem Taschenrechner auswerten
Bei diesen Aufgaben müssen Sie Zahlen in negative Potenzen auflösen. Die meisten Taschenrechner haben eine eigene Taste für die Negation einer Zahl, die sich von der Subtraktionstaste unterscheidet. Einige Rechner bezeichnen diese Taste mit (-), andere mit +/-. Die Taste befindet sich oft in der Nähe der Taste = oder des Dezimalpunkts.
Wenn Ihr Rechner Operationen anzeigt (typischerweise ein Rechner mit mehrzeiligem Display), würden Sie zur Berechnung von 1,005-240 etwas wie folgt eingeben: 1.005 ^ (-) 240
Wenn Ihr Rechner nur einen Wert auf einmal anzeigt, dann drücken Sie normalerweise die (-)-Taste nach einer Zahl, um sie zu negieren, also würden Sie drücken: 1,005 yx 240 (-) =
Versuchen Sie es – Sie sollten 1,005-240 = 0,302096
Beispiel 10
Sie wissen, dass Sie 500.000 $ auf Ihrem Konto haben werden, wenn Sie in Rente gehen. Sie möchten über einen Zeitraum von 30 Jahren monatliche Entnahmen aus dem Konto tätigen. Ihr Rentenkonto wird mit 8 % verzinst. Wie viel werden Sie jeden Monat abheben können?
In diesem Beispiel,
suchen wir nach d.
r = 0.08 8% jährlicher Zinssatz
k = 12, da wir monatlich abheben
N = 30 30 Jahre
P0 = $500.000 wir beginnen mit $500.000
In diesem Fall müssen wir die Gleichung aufstellen und für d lösen.
\begin{align}&500,000=\frac{d\left(1-{{\left(1+\frac{0.08}{12}\right)}^{-30(12)}}\right)}{\left(\frac{0.08}{12}\right)}\\&500,000=\frac{d\left(1-{{\left(1.00667\right)}^{-360}}\right)}{\left(0.00667\right)}\\&500,000=d(136.232)\\&d=\frac{500,000}{136.232}=\$3670.21 \\ \end{align}
Sie könnten 30 Jahre lang jeden Monat 3.670,21 $ abheben.
Versuchen Sie es jetzt 3
Ein Spender schenkt einer Universität 100.000 $ und legt fest, dass damit in den nächsten 20 Jahren jährliche Stipendien vergeben werden sollen. Wenn die Universität 4 % Zinsen erzielen kann, wie viel kann sie dann jedes Jahr an Stipendien vergeben?