Anwendungen der Gruppentheorie gibt es viele. Fast alle Strukturen in der abstrakten Algebra sind Spezialfälle von Gruppen. Ringe zum Beispiel können als abelsche Gruppen (entsprechend der Addition) zusammen mit einer zweiten Operation (entsprechend der Multiplikation) betrachtet werden. Daher liegen große Teile der Theorie dieser Einheiten gruppentheoretischen Argumenten zugrunde.
GaloistheorieBearbeiten
Die Galoistheorie verwendet Gruppen, um die Symmetrien der Wurzeln eines Polynoms zu beschreiben (oder genauer gesagt die Automorphismen der von diesen Wurzeln erzeugten Algebren). Der Fundamentalsatz der Galoistheorie stellt eine Verbindung zwischen algebraischen Felderweiterungen und der Gruppentheorie her. Er gibt ein wirksames Kriterium für die Lösbarkeit von Polynomgleichungen in Bezug auf die Lösbarkeit der entsprechenden Galoisgruppe. Zum Beispiel ist S5, die symmetrische Gruppe mit 5 Elementen, nicht lösbar, was bedeutet, dass die allgemeine quintische Gleichung nicht durch Radikale gelöst werden kann, wie es Gleichungen niedrigeren Grades können. Die Theorie, die eine der historischen Wurzeln der Gruppentheorie ist, wird immer noch fruchtbar angewendet, um neue Ergebnisse in Bereichen wie der Klassenfeldtheorie zu erzielen.
Algebraische TopologieBearbeiten
Die algebraische Topologie ist ein weiteres Gebiet, in dem Gruppen mit den Objekten, für die sich die Theorie interessiert, prominent assoziiert werden. Dort werden Gruppen verwendet, um bestimmte Invarianten von topologischen Räumen zu beschreiben. Sie werden „Invarianten“ genannt, weil sie so definiert sind, dass sie sich nicht ändern, wenn der Raum einer Deformation unterworfen wird. Die Fundamentalgruppe „zählt“ zum Beispiel, wie viele Pfade im Raum wesentlich verschieden sind. Die Poincaré-Vermutung, die 2002/2003 von Grigori Perelman bewiesen wurde, ist eine bekannte Anwendung dieser Idee. Der Einfluss ist jedoch nicht unidirektional. Die algebraische Topologie macht beispielsweise Gebrauch von Eilenberg-MacLane-Räumen, die Räume mit vorgeschriebenen Homotopiegruppen sind. Auch die algebraische K-Theorie stützt sich in gewisser Weise auf Klassifikationsräume von Gruppen. Schließlich zeigt der Name der Torsionsuntergruppe einer unendlichen Gruppe das Erbe der Topologie in der Gruppentheorie.
Algebraische GeometrieBearbeiten
Die algebraische Geometrie bedient sich ebenfalls in vielerlei Hinsicht der Gruppentheorie. Die abelschen Varietäten wurden oben eingeführt. Das Vorhandensein der Gruppenoperation liefert zusätzliche Informationen, die diese Varietäten besonders zugänglich machen. Sie dienen auch oft als Test für neue Vermutungen. Der eindimensionale Fall, nämlich elliptische Kurven, wird besonders eingehend untersucht. Sie sind sowohl theoretisch als auch praktisch faszinierend. In einer anderen Richtung sind torische Varietäten algebraische Varietäten, auf die ein Torus einwirkt. Toruseinbettungen haben in letzter Zeit zu Fortschritten in der algebraischen Geometrie geführt, insbesondere zur Auflösung von Singularitäten.
Algebraische ZahlentheorieBearbeiten
Die algebraische Zahlentheorie macht für einige wichtige Anwendungen Gebrauch von Gruppen. Zum Beispiel die Eulersche Produktformel,
∑ n ≥ 1 1 n s = ∏ p prime 1 1 – p – s , {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{s}}}&=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}},\\\end{aligned}}\!}
erfasst die Tatsache, dass sich jede ganze Zahl auf eindeutige Weise in Primzahlen zerlegen lässt. Das Scheitern dieser Aussage für allgemeinere Ringe führt zu Klassengruppen und regulären Primzahlen, die in Kummers Behandlung von Fermats letztem Satz vorkommen.
Harmonische AnalyseBearbeiten
Die Analysis auf Lie-Gruppen und bestimmten anderen Gruppen wird harmonische Analysis genannt. Haar-Maße, d.h. Integrale, die unter der Translation in einer Lie-Gruppe invariant sind, werden für die Mustererkennung und andere Bildverarbeitungstechniken verwendet.
KombinatorikBearbeiten
In der Kombinatorik werden der Begriff der Permutationsgruppe und das Konzept der Gruppenwirkung oft verwendet, um die Zählung einer Menge von Objekten zu vereinfachen; siehe insbesondere Burnside’s Lemma.
MusicEdit
Das Vorhandensein der 12-Periodizität im Quintenzirkel führt zu Anwendungen der elementaren Gruppentheorie in der musikalischen Mengenlehre. Die Transformationstheorie modelliert musikalische Transformationen als Elemente einer mathematischen Gruppe.
PhysicsEdit
In der Physik sind Gruppen wichtig, weil sie die Symmetrien beschreiben, denen die Gesetze der Physik zu gehorchen scheinen. Nach dem Noether-Theorem entspricht jede kontinuierliche Symmetrie eines physikalischen Systems einem Erhaltungssatz des Systems. Physiker sind sehr an Gruppendarstellungen interessiert, insbesondere an Lie-Gruppen, da diese Darstellungen oft den Weg zu den „möglichen“ physikalischen Theorien weisen. Beispiele für die Verwendung von Gruppen in der Physik sind das Standardmodell, die Eichtheorie, die Lorentz-Gruppe und die Poincaré-Gruppe.
Chemie und MaterialwissenschaftBearbeiten
In der Chemie und Materialwissenschaft werden Punktgruppen zur Klassifizierung regelmäßiger Polyeder und der Symmetrien von Molekülen sowie Raumgruppen zur Klassifizierung von Kristallstrukturen verwendet. Die zugewiesenen Gruppen können dann zur Bestimmung physikalischer Eigenschaften (wie chemische Polarität und Chiralität), spektroskopischer Eigenschaften (besonders nützlich für Raman-Spektroskopie, Infrarot-Spektroskopie, Zirkulardichroismus-Spektroskopie, magnetische Zirkulardichroismus-Spektroskopie, UV/Vis-Spektroskopie und Fluoreszenz-Spektroskopie) und zur Konstruktion von Molekülorbitalen verwendet werden.
Molekulare Symmetrie ist für viele physikalische und spektroskopische Eigenschaften von Verbindungen verantwortlich und liefert wichtige Informationen darüber, wie chemische Reaktionen ablaufen. Um einem beliebigen Molekül eine Punktgruppe zuzuordnen, ist es notwendig, die Menge der Symmetrieoperationen zu bestimmen, die an dem Molekül vorhanden sind. Die Symmetrieoperation ist eine Aktion, wie z. B. eine Drehung um eine Achse oder eine Reflexion durch eine Spiegelebene. Mit anderen Worten, es handelt sich um eine Operation, die das Molekül so verschiebt, dass es von der ursprünglichen Konfiguration nicht mehr zu unterscheiden ist. In der Gruppentheorie werden die Drehachsen und Spiegelebenen als „Symmetrieelemente“ bezeichnet. Diese Elemente können ein Punkt, eine Linie oder eine Ebene sein, in Bezug auf die die Symmetrieoperation durchgeführt wird. Die Symmetrieoperationen eines Moleküls bestimmen die spezifische Punktgruppe für dieses Molekül.
In der Chemie gibt es fünf wichtige Symmetrieoperationen. Sie sind die Identitätsoperation (E), die Rotationsoperation oder Eigenrotation (Cn), die Reflexionsoperation (σ), die Inversion (i) und die Rotationsreflexionsoperation oder unechte Rotation (Sn). Die Identitätsoperation (E) besteht darin, das Molekül so zu belassen, wie es ist. Dies ist gleichbedeutend mit einer beliebigen Anzahl von vollständigen Drehungen um eine beliebige Achse. Dies ist eine Symmetrie aller Moleküle, während die Symmetriegruppe eines chiralen Moleküls nur aus der Identitätsoperation besteht. Eine Identitätsoperation ist ein Merkmal jedes Moleküls, auch wenn es keine Symmetrie hat. Die Drehung um eine Achse (Cn) besteht in der Drehung des Moleküls um eine bestimmte Achse um einen bestimmten Winkel. Es ist eine Drehung um den Winkel 360°/n, wobei n eine ganze Zahl ist, um eine Drehachse. Dreht sich beispielsweise ein Wassermolekül um 180° um die Achse, die durch das Sauerstoffatom und zwischen den Wasserstoffatomen verläuft, befindet es sich in der gleichen Konfiguration wie zu Beginn. In diesem Fall ist n = 2, da die doppelte Anwendung die Identitätsoperation ergibt. Bei Molekülen mit mehr als einer Rotationsachse ist die Cn-Achse mit dem größten Wert von n die Rotationsachse höchster Ordnung oder Hauptachse. Zum Beispiel Boran (BH3), die höchste Ordnung der Rotationsachse ist C3, also ist die Hauptrotationsachse der Achse C3.
Bei der Reflexionsoperation (σ) haben viele Moleküle Spiegelebenen, auch wenn sie nicht offensichtlich sind. Bei der Spiegelungsoperation werden links und rechts vertauscht, als ob jeder Punkt senkrecht durch die Ebene an eine Position bewegt würde, die genau so weit von der Ebene entfernt ist wie zu Beginn. Steht die Ebene senkrecht zur Hauptdrehachse, wird sie als σh (horizontal) bezeichnet. Andere Ebenen, die die Hauptdrehachse enthalten, werden als vertikal (σv) oder dihedrisch (σd) bezeichnet.
Die Umkehrung (i ) ist ein komplexerer Vorgang. Jeder Punkt bewegt sich durch die Mitte des Moleküls zu einer Position, die der ursprünglichen Position gegenüberliegt und so weit vom Mittelpunkt entfernt ist, wie er begonnen hat. Viele Moleküle, die auf den ersten Blick ein Inversionszentrum zu haben scheinen, haben es nicht; Methan und andere tetraedrische Moleküle haben beispielsweise keine Inversionssymmetrie. Um dies zu sehen, halten Sie ein Methanmodell mit zwei Wasserstoffatomen in der vertikalen Ebene auf der rechten Seite und zwei Wasserstoffatomen in der horizontalen Ebene auf der linken Seite. Bei der Inversion befinden sich zwei Wasserstoffatome in der horizontalen Ebene auf der rechten Seite und zwei Wasserstoffatome in der vertikalen Ebene auf der linken Seite. Die Inversion ist also keine Symmetrieoperation von Methan, da die Ausrichtung des Moleküls nach der Inversion von der ursprünglichen Ausrichtung abweicht. Und die letzte Operation ist die unsachgemäße Rotations- oder Rotations-Reflexions-Operation (Sn) erfordert eine Drehung um 360°/n, gefolgt von einer Reflexion durch eine Ebene, die senkrecht zur Drehachse steht.
Statistische MechanikBearbeiten
Die Gruppentheorie kann verwendet werden, um die Unvollständigkeit der von Willard Gibbs entwickelten statistischen Interpretationen der Mechanik zu beheben, die sich auf die Summierung einer unendlichen Anzahl von Wahrscheinlichkeiten bezieht, um eine sinnvolle Lösung zu erhalten.
KryptographieBearbeiten
Sehr große Gruppen primärer Ordnung, die in der Kryptographie mit elliptischen Kurven konstruiert werden, dienen der Kryptographie mit öffentlichen Schlüsseln. Kryptographische Verfahren dieser Art profitieren von der Flexibilität der geometrischen Objekte, also ihrer Gruppenstrukturen, sowie von der komplizierten Struktur dieser Gruppen, die die Berechnung des diskreten Logarithmus sehr schwierig macht. Eines der frühesten Verschlüsselungsprotokolle, die Caesar-Chiffre, kann ebenfalls als (sehr einfache) Gruppenoperation interpretiert werden. Die meisten kryptografischen Verfahren verwenden in irgendeiner Weise Gruppen. Insbesondere der Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch verwendet endliche zyklische Gruppen. Der Begriff der gruppenbasierten Kryptographie bezieht sich also meist auf kryptographische Protokolle, die unendliche nichtabelsche Gruppen wie eine Zopfgruppe verwenden.
