Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Größe von Vektoren zu messen, hier sind die gebräuchlichsten:
L0 Norm:
Es ist eigentlich keine Norm. (Siehe die Bedingungen, die eine Norm erfüllen muss, hier). Entspricht der Gesamtzahl der Nicht-Null-Elemente in einem Vektor.
Zum Beispiel ist die L0-Norm der Vektoren (0,0) und (0,2) 1, weil es nur ein Nicht-Null-Element gibt.
Ein gutes praktisches Beispiel für die L0-Norm ist das, das Nishant Shukla gibt, wenn er zwei Vektoren (Benutzername und Passwort) hat. Wenn die L0-Norm der Vektoren gleich 0 ist, dann ist die Anmeldung erfolgreich. Wenn die L0-Norm 1 ist, bedeutet dies, dass entweder der Benutzername oder das Passwort falsch ist, aber nicht beides. Und schließlich, wenn die L0-Norm 2 ist, bedeutet dies, dass sowohl der Benutzername als auch das Passwort falsch sind.
L1-Norm:
Auch bekannt als Manhattan-Distanz oder Taxi-Norm. L1 Norm ist die Summe der Größen der Vektoren in einem Raum. Sie ist die natürlichste Art, den Abstand zwischen Vektoren zu messen, d. h. die Summe der absoluten Differenz der Komponenten der Vektoren. Bei dieser Norm werden alle Komponenten des Vektors gleich gewichtet.
Haben wir zum Beispiel den Vektor X = :
Die L1-Norm wird berechnet durch
Wie man in der Grafik sehen kann, ist die L1-Norm die Entfernung, die man zwischen dem Ursprung (0,0) und dem Ziel (3,4) zurücklegen muss, ähnlich wie ein Taxi zwischen den Häuserblocks einer Stadt fährt, um an sein Ziel zu gelangen.
L2-Norm:
Ist die populärste Norm, auch bekannt als die euklidische Norm. Sie ist der kürzeste Weg von einem Punkt zu einem anderen.
Nach dem gleichen Beispiel, wird die L2-Norm wie folgt berechnet
Wie man in der Grafik sehen kann, ist die L2-Norm der direkteste Weg.
Bei der L2-Norm ist zu beachten, dass jede Komponente des Vektors quadriert wird, was bedeutet, dass die Ausreißer stärker gewichtet werden, was die Ergebnisse verfälschen kann.
L-Unendlichkeitsnorm:
Gibt den größten Betrag unter jedem Element eines Vektors an.
Bei dem Vektor X= ist die L-Unendlichkeitsnorm 6.
Bei der L-Unendlichkeitsnorm hat nur das größte Element einen Einfluss. Wenn der Vektor also zum Beispiel die Kosten für den Bau eines Gebäudes darstellt, werden durch die Minimierung der L-Infinitätsnorm die Kosten für das teuerste Gebäude reduziert.